Seja
um número inteiro. Prove que
se e somente se
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar que “0 divide x” (escrito como
) se e somente se
. Para isso, vamos usar os conceitos de divisibilidade e propriedades dos números inteiros.
Passo 2
Vamos começar provando que se
, então
.
Por definição, dizer que
significa que existe um número inteiro
tal que:
Sabemos que qualquer número multiplicado por zero é zero. Portanto:
Passo 3
Agora, vamos provar que se
, então
.
Se
, podemos escrever:
Esse igualdade é verdadeira para qualquer valor de
(pois
multiplicado por qualquer número é sempre
). Isso significa que existe pelo menos um inteiro
que satisfaz a condição, ou seja,
.
Resposta
Portanto,
se e somente se
.