Seja x um número inteiro. Prove que 0 | x se e somente se x = 0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos provar que “0 divide x” (escrito como 0 | x) se e somente se x = 0. Para isso, vamos usar os conceitos de divisibilidade e propriedades dos números inteiros.

Passo 2

Vamos começar provando que se 0 | x, então x = 0.
Por definição, dizer que 0 | x significa que existe um número inteiro k tal que:
Sabemos que qualquer número multiplicado por zero é zero. Portanto:

Passo 3

Agora, vamos provar que se x = 0, então 0 | x.
Se x = 0, podemos escrever:
Esse igualdade é verdadeira para qualquer valor de k (pois 0 multiplicado por qualquer número é sempre 0). Isso significa que existe pelo menos um inteiro k que satisfaz a condição, ou seja, .

Resposta

Portanto, 0 | x se e somente se x = 0.

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