Prove que se os números a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} são diferentes de zero e formam uma progressão aritmética então
\frac{1}{a_{1} a_{2}}+\frac{1}{a_{2} a_{3}}+\frac{1}{a_{3} a_{4}}+\cdots+\frac{1}{a_{n-1} a_{n}}=\frac{n-1}{a_{1} a_{n}}

Passo 1

O enunciado pede para provar que, se os termos a_{1},a_{2},\dots,a_{n} são não nulos e formam uma progressão aritmética (PA), então vale
\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{a_{k}a_{k+1}} \;=\;\frac{n-1}{a_{1}a_{n}}.
O conteúdo principal é identificar que em uma PA o termo geral se escreve usando a diferença comum d e que a soma em questão pode ser transformada num somatório telescópico.

Passo 2

Como (a_{k}) é PA, existe uma diferença comum d tal que, para todo k,
a_{k+1}-a_{k}=d \quad\text{e}\quad a_{k}=a_{1}+(k-1)d.
Além disso, da definição de PA com n termos segue
d=\frac{a_{n}-a_{1}}{n-1}.

Passo 3

Note a identidade clássica
\frac{1}{a_{k}\,a_{k+1}} =\frac{1}{a_{k}(a_{k}+d)} =\frac{1}{d}\,\biggl(\frac{1}{a_{k}}-\frac{1}{a_{k+1}}\biggr).
Basta verificar que, colocando em evidência \tfrac1d, o numerador fica
\frac{a_{k+1}-a_{k}}{a_{k}a_{k+1}} =\frac{d}{a_{k}a_{k+1}},
o que reproduz o lado esquerdo.

Passo 4

Somando essa identidade de k=1 até k=n-1 obtém-se um efeito telescópico:
\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{a_{k}a_{k+1}} =\frac{1}{d}\sum_{k=1}^{n-1}\Bigl(\frac{1}{a_{k}}-\frac{1}{a_{k+1}}\Bigr) =\frac{1}{d}\Bigl(\frac{1}{a_{1}}-\frac{1}{a_{n}}\Bigr).

Passo 5

Agora substituímos d=(a_{n}-a_{1})/(n-1) na expressão acima:
\frac{1}{d}\Bigl(\frac{1}{a_{1}}-\frac{1}{a_{n}}\Bigr) =\frac{n-1}{a_{n}-a_{1}}\;\frac{a_{n}-a_{1}}{a_{1}a_{n}} =\frac{n-1}{a_{1}a_{n}}.

Resposta

\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{a_{k}a_{k+1}} =\frac{n-1}{a_{1}a_{n}}.

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