Prove que se os números
são diferentes de zero e formam uma progressão aritmética então
Passo 1
O enunciado pede para provar que, se os termos
são não nulos e formam uma progressão aritmética (PA), então vale
O conteúdo principal é identificar que em uma PA o termo geral se escreve usando a diferença comum
e que a soma em questão pode ser transformada num somatório telescópico.
Passo 2
Como
é PA, existe uma diferença comum
tal que, para todo
,
Além disso, da definição de PA com
termos segue
Passo 3
Note a identidade clássica
Basta verificar que, colocando em evidência
, o numerador fica
o que reproduz o lado esquerdo.
Passo 4
Somando essa identidade de
até
obtém-se um efeito telescópico:
Passo 5
Agora substituímos
na expressão acima: