Os números positivos a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n} formam uma progressão aritmética. Prove que
\frac{1}{\sqrt{a_{1}}+\sqrt{a_{2}}}+\frac{1}{\sqrt{a_{2}}+\sqrt{a_{3}}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{a_{n-1}}+\sqrt{a_{n}}}=\frac{n-1}{\sqrt{a_{1}}+\sqrt{a_{n}}}

Passo 1

O enunciado dá números positivos a_{1},a_{2},\dots,a_{n} em progressão aritmética e pede para mostrar que
\sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{a_{i}}+\sqrt{a_{i+1}}} =\frac{n-1}{\sqrt{a_{1}}+\sqrt{a_{n}}}.
Vamos usar dois ingredientes: racionalização de frações e soma telescópica, além da fórmula da diferença constante numa progressão aritmética.

Passo 2

Como a_{1},a_{2},\dots,a_{n} está em progressão aritmética, existe diferença comum
d = a_{2}-a_{1} = a_{i+1}-a_{i}\quad\text{para todo }i.
Logo a_{i+1}-a_{i}=d e d>0.

Passo 3

Racionalizamos cada termo genérico:
\frac{1}{\sqrt{a_{i}}+\sqrt{a_{i+1}}} =\frac{\sqrt{a_{i+1}}-\sqrt{a_{i}}}{\bigl(\sqrt{a_{i+1}}+\sqrt{a_{i}}\bigr)\bigl(\sqrt{a_{i+1}}-\sqrt{a_{i}}\bigr)} =\frac{\sqrt{a_{i+1}}-\sqrt{a_{i}}}{a_{i+1}-a_{i}} =\frac{\sqrt{a_{i+1}}-\sqrt{a_{i}}}{d}.

Passo 4

Substituindo na soma:
\sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{a_{i}}+\sqrt{a_{i+1}}} =\sum_{i=1}^{n-1}\frac{\sqrt{a_{i+1}}-\sqrt{a_{i}}}{d} =\frac{1}{d}\sum_{i=1}^{n-1}\bigl(\sqrt{a_{i+1}}-\sqrt{a_{i}}\bigr).
Essa soma é telescópica, pois
\sum_{i=1}^{n-1}\bigl(\sqrt{a_{i+1}}-\sqrt{a_{i}}\bigr) =\bigl(\sqrt{a_{2}}-\sqrt{a_{1}}\bigr)+\bigl(\sqrt{a_{3}}-\sqrt{a_{2}}\bigr)+\cdots+\bigl(\sqrt{a_{n}}-\sqrt{a_{n-1}}\bigr) =\sqrt{a_{n}}-\sqrt{a_{1}}.

Passo 5

Portanto
\sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{a_{i}}+\sqrt{a_{i+1}}} =\frac{\sqrt{a_{n}}-\sqrt{a_{1}}}{d}.
Mas como d=a_{n}-a_{1} dividido por (n-1), isto é,
d=\frac{a_{n}-a_{1}}{n-1} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{d}=\frac{n-1}{a_{n}-a_{1}},
segue
\frac{\sqrt{a_{n}}-\sqrt{a_{1}}}{d} =(n-1)\,\frac{\sqrt{a_{n}}-\sqrt{a_{1}}}{a_{n}-a_{1}}.

Passo 6

Observamos que
\frac{\sqrt{a_{n}}-\sqrt{a_{1}}}{a_{n}-a_{1}} =\frac{1}{\sqrt{a_{n}}+\sqrt{a_{1}}},
pois \bigl(\sqrt{a_{n}}-\sqrt{a_{1}}\bigr)\bigl(\sqrt{a_{n}}+\sqrt{a_{1}}\bigr)=a_{n}-a_{1}. Logo
(n-1)\,\frac{\sqrt{a_{n}}-\sqrt{a_{1}}}{a_{n}-a_{1}} =\frac{n-1}{\sqrt{a_{1}}+\sqrt{a_{n}}}.

Resposta

\sum_{i=1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{a_{i}}+\sqrt{a_{i+1}}} =\frac{n-1}{\sqrt{a_{1}}+\sqrt{a_{n}}}.

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