O enunciado pede para mostrar que, se é um quatérnion unitário (isto é, ) e é um quatérnion arbitrário, então a conjugação de por preserva o módulo, ou seja,
O conteúdo que vamos usar é a definição de módulo (norma) e conjugado de um quatérnion, bem como a propriedade multiplicativa da norma.
Passo 2
Definimos, para um quatérnion genérico
p = a + b,i + c,j + d,k,
o seu conjugado como
bar p = a - b,i - c,j - d,k,
e o seu módulo ao quadrado como
lvert prvert^2 = p,bar p = bar p,p = a^2 + b^2 + c^2 + d^2
Passo 3
Mostramos que a norma é multiplicativa em H. Para quaisquer quatérnions u,v vale
lvert u,vrvert^2 = (u,v),(u,v) = u,v,bar v,bar u = u,l(lvert vrvert^2r),bar u = lvert vrvert^2,(u,bar u) = lvert vrvert^2,lvert urvert^2
Tomando raiz quadrada em ambos os lados fica
lvert u,vrvert = lvert urvert,lvert vrvert
Passo 4
Repare que lvert bar qrvert = lvert qrvert para todo quatérnion q, pois
lvert bar qrvert^2 = bar q,q = q,bar q = lvert qrvert^2
Passo 5
Aplicando a propriedade multiplicativa da norma a q,p,bar q, temos