Sejam q um quatérnion unitário e p in H. Prove que |q p barq|=|p|.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se q é um quatérnion unitário (isto é, lvert qrvert=1) e pinH é um quatérnion arbitrário, então a conjugação de p por q preserva o módulo, ou seja,
llvert,q,p,bar qrrvert ;=;lvert prvert
O conteúdo que vamos usar é a definição de módulo (norma) e conjugado de um quatérnion, bem como a propriedade multiplicativa da norma.

Passo 2

Definimos, para um quatérnion genérico
p = a + b,i + c,j + d,k,
o seu conjugado como
bar p = a - b,i - c,j - d,k,
e o seu módulo ao quadrado como
lvert prvert^2 = p,bar p = bar p,p = a^2 + b^2 + c^2 + d^2

Passo 3

Mostramos que a norma é multiplicativa em H. Para quaisquer quatérnions u,v vale
lvert u,vrvert^2 = (u,v),(u,v) = u,v,bar v,bar u = u,l(lvert vrvert^2r),bar u = lvert vrvert^2,(u,bar u) = lvert vrvert^2,lvert urvert^2
Tomando raiz quadrada em ambos os lados fica
lvert u,vrvert = lvert urvert,lvert vrvert

Passo 4

Repare que lvert bar qrvert = lvert qrvert para todo quatérnion q, pois
lvert bar qrvert^2 = bar q,q = q,bar q = lvert qrvert^2

Passo 5

Aplicando a propriedade multiplicativa da norma a q,p,bar q, temos
llvert q,p,bar qrrvert = lvert qrvert ;lvert prvert;lvert bar qrvert = lvert qrvert,lvert bar qrvert,lvert prvert = 1cdot 1cdot lvert prvert = lvert prvert,
onde usamos lvert qrvert=1.

Resposta

boxedllvert,q,p,bar qrrvert = lvert prvert

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