Sejam
e
. Prove que
.
Passo 1
O enunciado pede que mostremos, para
e
, que
Os fatos que vamos usar são:
- em
a multiplicação é associativa e distributiva;H - escalares reais comutam com quaternions (ou seja,
ealpha,p=p,alpha ).alpha,q=q,alpha
Passo 2
Aplicamos a distributividade da multiplicação à esquerda:
Portanto
Passo 3
Usamos agora a associatividade para distribuir
q e separamos os termos:
No primeiro somando, como
alpha é real, ele pode sair do produto quaterniónico:
Passo 4
Juntando os dois resultados, obtemos exatamente