Sejam alpha in R e p, q in H. Prove que q(alpha p+q) barq=alpha q p barq+q q barq.

Passo 1

O enunciado pede que mostremos, para alphainR e p,qinH, que
ql(alpha,p + qr)q = alpha,q,p,q + q,q,q
Os fatos que vamos usar são:
  1. em H a multiplicação é associativa e distributiva;
  2. escalares reais comutam com quaternions (ou seja, alpha,p=p,alpha e alpha,q=q,alpha).

Passo 2

Aplicamos a distributividade da multiplicação à esquerda:
ql(alpha,p + qr) = q,(alpha,p) + q,q
Portanto
ql(alpha,p + qr)q = l(q,(alpha,p) + q,qr)q

Passo 3

Usamos agora a associatividade para distribuir q e separamos os termos:
l(q,(alpha,p)r)q + (q,q),q
No primeiro somando, como alpha é real, ele pode sair do produto quaterniónico:
q,(alpha,p),q = alpha,l(q,pr),q = alpha,q,p,q

Passo 4

Juntando os dois resultados, obtemos exatamente
ql(alpha,p + qr)q = alpha,q,p,q + q,q,q

Resposta

q(alpha,p + q)q = alpha,q,p,q + q,q,q

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