1. Em um quadrilátero ABCD , os lados AB e CD não são paralelos, e suas medidas são iguais a 2 cm e 12 cm , respectivamente. Dentre as opções a seguir, qual é a única que pode representar a medida do segmento que une os pontos médios dos lados AD e BC ?
    a) 4,5 \mathrm{~cm}
    b) 5,0 \mathrm{~cm}
    c) 6,5 \mathrm{~cm}
    d) 7,0 \mathrm{~cm}
    e) 7,5 \mathrm{~cm}

Passo 1

O enunciado dá um quadrilátero ABCD em que AB=2 cm e CD=12 cm, e diz que AB e CD não são paralelos. Pede-se o comprimento do segmento que une os pontos médios de AD e de BC. Vamos usar geometria vetorial (ou desigualdade triangular para vetores) para achar o intervalo de valores possíveis desse segmento.

Passo 2

Denotemos por M o ponto médio de AD e por N o ponto médio de BC. Em coordenadas vetoriais,
\overrightarrow{M} = \frac{\overrightarrow{A}+\overrightarrow{D}}{2}, \quad \overrightarrow{N} = \frac{\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}}{2}.
Então
\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{N}-\overrightarrow{M} = \frac{\overrightarrow{B}+\overrightarrow{C}-\overrightarrow{A}-\overrightarrow{D}}{2} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}}{2}.

Passo 3

Logo, o comprimento de MN é
MN = \frac{1}{2}\bigl\|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}\bigr\|.
Pela desigualdade triangular para vetores,
\bigl|\|\overrightarrow{DC}\| - \|\overrightarrow{AB}\|\bigr| \;\le\;\bigl\|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}\bigr\| \;\le\; \|\overrightarrow{AB}\| + \|\overrightarrow{DC}\|.
Substituindo \|\overrightarrow{AB}\|=2 e \|\overrightarrow{DC}\|=12,
10 \le \bigl\|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC}\bigr\| \le 14.

Passo 4

Dividindo tudo por 2, obtemos
5 \le MN \le 7.
Como AB e CD não são paralelos, as desigualdades extremas (casos de colinearidade) não ocorrem, ficando de fato
5 < MN < 7.
Das opções dadas 4,5;\,5,0;\,6,5;\,7,0;\,7,5, só \,6,5 cm está estritamente entre 5 e 7.

Resposta

6,5 cm.

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