1. Seja ABCD um quadrado e seja E um ponto qualquer sobre o lado BC, diferente de B e de C. Sejam F e G os pontos de interseção da reta perpendicular a AE passando por E com as retas AB e CD , respectivamente. Mostre que \overline{\mathrm{BF}}+\overline{\mathrm{CG}}=\overline{\mathrm{BE}}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num quadrado ABCD, dadas E em BC (com E\neq B,C) e as interseções F\in AB, G\in CD da reta por E e perpendicular a AE, vale
\overline{BF}+\overline{CG}=\overline{BE}.
O conteúdo usado será geometria analítica: colocar o quadrado num sistema de coordenadas, achar equação da reta perpendicular e distâncias entre pontos.

Passo 2

Escolhemos lado do quadrado igual a 1 e definimos:
A=(0,0),\quad B=(1,0),\quad C=(1,1),\quad D=(0,1).
Como E está em BC, existe t\in(0,1) tal que
E=(1,t).

Passo 3

A reta AE tem coeficiente angular
m_{AE}=\frac{t-0}{1-0}=t.
Logo a reta perpendicular a AE em E tem coeficiente angular
m_\perp=-\frac{1}{t},
e sua equação é
y - t = -\frac{1}{t}\,(x - 1).

Passo 4

Para achar F, intersectamos essa reta com AB, que é y=0. Substituindo em
0 - t = -\frac{1}{t}(x-1)
vem x-1 = t^2, ou seja x=1+t^2.
Assim
F=(1+t^2,0),
e
\overline{BF} = \bigl|x_F - x_B\bigr| = \bigl|(1+t^2)-1\bigr| = t^2.

Passo 5

Para achar G, intersectamos com CD, que é y=1. Em
1 - t = -\frac{1}{t}(x-1)
vem x-1 = -t(1-t)=t^2-t, isto é x=1 - t + t^2.
Logo
G=(1-t+t^2,1),
e
\overline{CG} = \bigl|x_G - x_C\bigr| = \bigl|(1-t+t^2)-1\bigr| = t - t^2.

Passo 6

Somando as duas distâncias obtidas,
\overline{BF} + \overline{CG} = t^2 + (t - t^2) = t.
Mas \overline{BE} é a distância vertical de B=(1,0) até E=(1,t), ou seja \overline{BE}=t. Portanto
\overline{BF} + \overline{CG} = \overline{BE}.

Resposta

\overline{BF}+\overline{CG}=\overline{BE}

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