1. Prove que se os pontos (x1, y1) e(x2, y2) estão na mesma reta que (x1^*, y1^*) e(x2^*, y2^*), então
    y2^*-y1^*x2^*-x1^*=y2-y1x2-x1.
    Assuma que x1 neq x2 e x1^* neq x2^*.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, se os pontos (x1,y1) e (x2,y2) definem uma reta e os pontos (x1^*,y1^*) e (x2^*,y2^*) também pertencem a essa mesma reta, então os declives dessas duas segementos são iguais. O conteúdo aqui é geometria analítica: definição de declive (ou coeficiente angular) de uma reta e a equação-ponto da reta.

Passo 2

Para começar, definimos o declive m da reta que passa por (x1,y1) e (x2,y2) pela fórmula
m = y2 - y1x2 - x1
Em seguida, usamos a forma ponto-declive da equação dessa reta, que diz que qualquer ponto (x,y) sobre ela satisfaz
y - y1 = m, (x - x1)

Passo 3

Como (x1^*,y1^*) está nessa reta, substituímos (x,y)=(x1^*,y1^*) na equação acima e obtemos
y1^* - y1 = m,(x1^* - x1)
Dividindo ambos os lados por (x1^* - x1), que é diferente de zero por hipótese, vem
y1^* - y1x1^* - x1 = m

Passo 4

Do mesmo jeito, para o ponto (x2^*,y2^*) temos
y2^* - y1 = m,(x2^* - x1)
e dividindo por (x2^* - x1), também não nulo, ficamos com
y2^* - y1x2^* - x1 = m

Passo 5

Agora basta subtrair a primeira destas duas igualdades (a do ponto (x1^*,y1^*)) da segunda (a do ponto (x2^*,y2^*)). No numerador:
(y2^* - y1) - (y1^* - y1) = y2^* - y1^*,
e no denominador:
(x2^* - x1) - (x1^* - x1) = x2^* - x1^*
Logo,
y2^* - y1^*x2^* - x1^* = m
Mas já tínhamos m=y2 - y1x2 - x1, logo concluímos que os dois declives coincidem.

Resposta

\displaystyle \frac{y_{2}{*}-y_{1}{}}{x_{2}{*}-x_{1}{}} = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}

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