- Prove que se os pontos
estão na mesma reta que
, então
.
Assuma que
.
Assuma que
Passo 1
O enunciado pede para provar que, se os pontos
e
definem uma reta e os pontos
e
também pertencem a essa mesma reta, então os declives dessas duas segementos são iguais. O conteúdo aqui é geometria analítica: definição de declive (ou coeficiente angular) de uma reta e a equação-ponto da reta.
Passo 2
Para começar, definimos o declive
da reta que passa por
e
pela fórmula
Em seguida, usamos a forma ponto-declive da equação dessa reta, que diz que qualquer ponto
sobre ela satisfaz
Passo 3
Como
está nessa reta, substituímos
na equação acima e obtemos
Dividindo ambos os lados por
, que é diferente de zero por hipótese, vem
Passo 4
Do mesmo jeito, para o ponto
temos
e dividindo por
, também não nulo, ficamos com
Passo 5
Agora basta subtrair a primeira destas duas igualdades (a do ponto
) da segunda (a do ponto
). No numerador:
e no denominador:
Logo,
Mas já tínhamos
, logo concluímos que os dois declives coincidem.
Resposta
\displaystyle \frac{y_{2}{*}-y_{1}{}}{x_{2}{*}-x_{1}{}} = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}