Se
e
são números positivos tais que
, qual é o conjunto de valores de
?
Passo 1
O enunciado pede o conjunto de todos os valores possíveis de
sujeito a
e
Vamos encontrar o ínfimo (menor valor limite) e o supremo (maior valor limite) de
.
Passo 2
Para o ínfimo de
, note que se tomarmos
então
sempre que
. Nesse caso
pode ficar arbitrariamente próximo de
quando
. Como
são estritamente positivos,
nunca atinge
, mas pode se aproximar tanto quanto quisermos. Logo,
não atingido.
Passo 3
Para o supremo de
, consideremos uma família de soluções que “exploram” um valor grande de uma variável e compensam nas outras duas. Fixe
e defina
de modo que o vínculo seja estritamente ativado:
Resolvendo em
:
Então
Para
,
logo
Portanto, não há cota superior finita para
e
Resposta
O conjunto dos valores de
é