Se x, y e z são números positivos tais que x y+y z+z x <= 3, qual é o conjunto de valores de x+y+z?

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de todos os valores possíveis de
S = x + y + z
sujeito a x,y,z>0 e
xy + yz + zx <= 3
Vamos encontrar o ínfimo (menor valor limite) e o supremo (maior valor limite) de S.

Passo 2

Para o ínfimo de S, note que se tomarmos
x=y=z=varepsilon>0
então
xy+yz+zx = 3varepsilon^2 <= 3
sempre que varepsilon<=1. Nesse caso
S = 3varepsilon
pode ficar arbitrariamente próximo de 0 quando varepsilonto0^+. Como x,y,z são estritamente positivos, S nunca atinge 0, mas pode se aproximar tanto quanto quisermos. Logo,
inf S = 0,
não atingido.

Passo 3

Para o supremo de S, consideremos uma família de soluções que “exploram” um valor grande de uma variável e compensam nas outras duas. Fixe t>0 e defina
x = t, y = z = a
de modo que o vínculo seja estritamente ativado:
xy+yz+zx = 2at + a^2 = 3
Resolvendo em a>=0:
a = -t + raizt^2 + 3
Então
S = t + 2a = t + 2l(-t + raizt^2+3r) = 2raizt^2+3 - t
Para tto+infty,
raizt^2+3 = traiz1+tfrac3t^2 = t + tfrac32t + ol(tfrac1tr),
logo
S = 2l(t + tfrac32t + o(tfrac1t)r) - t = t + tfrac3t + o(tfrac1t);longrightarrow;+infty
Portanto, não há cota superior finita para S e
sup S = +infty

Resposta

O conjunto dos valores de x+y+z é
(0,,+infty)

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