Se
e
são números positivos tais que
, qual é o conjunto de valores de
?
Passo 1
O enunciado pede o conjunto de valores de
sujeitos a
e
O conteúdo principal é usar a desigualdade de AM–GM para relacionar soma de produtos
com o produto
.
Passo 2
Pela AM–GM em três termos positivos temos
Como
, segue
Passo 3
Mostramos que o máximo
ocorre de fato em
. Se
, então
e para
temos
e
. Logo o valor máximo de
é
.
Passo 4
Para ver que
pode ficar arbitrariamente pequeno (mas positivo), basta tomar, por exemplo,
Então
que fica em
se
é pequeno. E
Assim
xyz pode aproximar-se de zero, sem nunca ser zero.
Resposta
O produto
xyz varia em
ou seja, o conjunto de valores de
xyz é
(0,1] .