Se x, y e z são números positivos tais que 1 <= x y+y z+z x <= 3, qual é o conjunto de valores de x y z?

Passo 1

O enunciado pede o conjunto de valores de P=xyz sujeitos a x,y,z>0 e
1 <= xy+yz+zx <= 3
O conteúdo principal é usar a desigualdade de AM–GM para relacionar soma de produtos xy+yz+zx com o produto xyz.

Passo 2

Pela AM–GM em três termos positivos temos
xy + yz + zx ;>=; 3,(xyz)^2/3
Como xy+yz+zx<=3, segue
3,(xyz)^2/3 ;<=; xy+yz+zx ;<=; 3 Longrightarrow (xyz)^2/3 ;<=; 1 Longrightarrow xyz ;<=;1

Passo 3

Mostramos que o máximo xyz=1 ocorre de fato em x=y=z. Se x=y=z, então
xy+yz+zx = 3x^2 <=3 ;Longrightarrow; x^2<=1 ;Longrightarrow; x<=1,
e para x=1 temos xy+yz+zx=3 e xyz=1. Logo o valor máximo de xyz é 1.

Passo 4

Para ver que xyz pode ficar arbitrariamente pequeno (mas positivo), basta tomar, por exemplo,
y=z=1 e x=varepsilon>0
Então
xy+yz+zx = varepsiloncdot1 + 1cdot1 + varepsiloncdot1 = 1 + 2varepsilon,
que fica em [1,3] se varepsilon é pequeno. E
xyz = varepsiloncdot1cdot1 = varepsilon ;xrightarrow[varepsilonto0];0
Assim xyz pode aproximar-se de zero, sem nunca ser zero.

Resposta

O produto xyz varia em
0 < xyz <= 1,
ou seja, o conjunto de valores de xyz é (0,1].

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