Prove que para todo inteiro n, o número n(n+1)(n+2) é divisível por 6 .

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para todo inteiro n, o produto n(n+1)(n+2) é divisível por 6. O conteúdo é divisibilidade em inteiros. Vamos usar que 6 = 2 \cdot 3 e que, em qualquer sequência de três inteiros consecutivos, existe ao menos um múltiplo de 2 e um múltiplo de 3.

Passo 2

Entre três inteiros consecutivos n, n+1 e n+2 há sempre um número par, pois se n for par estamos feitos; caso contrário n+1 é par. Logo,
2 \mid n(n+1)(n+2).

Passo 3

Entre três inteiros consecutivos também há sempre um múltiplo de 3. De fato, ao dividir n por 3 o resto é 0, 1 ou 2. Se o resto for 0, 3\mid n; se for 1, então 3\mid(n+2); se for 2, então 3\mid(n+1). Logo,
3 \mid n(n+1)(n+2).

Passo 4

Como 2 e 3 são primos entre si, de
2 \mid n(n+1)(n+2) \quad\text{e}\quad 3 \mid n(n+1)(n+2)
segue que
6 = 2 \cdot 3 \mid n(n+1)(n+2).

Resposta

Para todo inteiro n, n(n+1)(n+2) é divisível por 6.

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