Prove que o quadrado de todo número ímpar
, é da forma
para algum inteiro
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é um número ímpar, então o seu quadrado
pode ser escrito na forma
para algum inteiro
.
Conteúdo usado: representação geral de números ímpares e paridade de produto de inteiros consecutivos.
Conteúdo usado: representação geral de números ímpares e paridade de produto de inteiros consecutivos.
Passo 2
Como
é ímpar, podemos escrevê-lo como
onde
é algum inteiro.
Passo 3
Calculamos o quadrado de
:
Passo 4
Note que
e
são inteiros consecutivos, de modo que um deles é par. Logo, o produto
é par e existe um inteiro
tal que
Passo 5
Substituindo na expressão de
, obtemos
Basta então definir
, que é inteiro.
Resposta
Para todo ímpar
, seu quadrado satisfaz
para algum inteiro
.