Prove que o quadrado de todo número ímpar a, a^{2}, é da forma 8 k+1 para algum inteiro k.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se a é um número ímpar, então o seu quadrado \,a^2 pode ser escrito na forma
8k + 1
para algum inteiro k.
Conteúdo usado: representação geral de números ímpares e paridade de produto de inteiros consecutivos.

Passo 2

Como a é ímpar, podemos escrevê-lo como
a = 2n + 1
onde n é algum inteiro.

Passo 3

Calculamos o quadrado de a:
a^2 = (2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 4\,n(n+1) + 1.

Passo 4

Note que n e n+1 são inteiros consecutivos, de modo que um deles é par. Logo, o produto n(n+1) é par e existe um inteiro m tal que
n(n+1) = 2m.

Passo 5

Substituindo na expressão de a^2, obtemos
a^2 = 4\,(2m) + 1 = 8m + 1.
Basta então definir k = m, que é inteiro.

Resposta

Para todo ímpar a, seu quadrado satisfaz
a^2 = 8k + 1
para algum inteiro k.

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