Use o Algoritmo da Divisão para provar que todo número ímpar é da forma 4 k+1 ou da forma 4 k+3 para algum inteiro k.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, usando o Algoritmo da Divisão, qualquer número ímpar n pode ser escrito como 4k+1 ou como 4k+3, com k\in\mathbb{Z}. Vamos aplicar o Algoritmo da Divisão com divisor 4 e usar a definição de número ímpar (não divisível por 2).

Passo 2

Pelo Algoritmo da Divisão, para todo n\in\mathbb{Z} existem únicos q,r\in\mathbb{Z} tais que
n = 4q + r
com
0 \le r \le 3.

Passo 3

Examinamos a paridade de n em cada caso de r:
  • Se r=0, então n=4q, múltiplo de 2, logo n é par.
  • Se r=1, então n=4q+1. Como 4q é par, 4q+1 é ímpar.
  • Se r=2, então n=4q+2=2(2q+1), múltiplo de 2, logo n é par.
  • Se r=3, então n=4q+3=4q+2+1=2(2q+1)+1, que não é múltiplo de 2, logo é ímpar.

Passo 4

Para que n seja ímpar, só restam os casos r=1 ou r=3. Assim, existem k\in\mathbb{Z} (basta tomar k=q) tais que
n = 4k+1 \quad\text{ou}\quad n = 4k+3.

Resposta

Ficou provado que todo número ímpar é da forma 4k+1 ou 4k+3 para algum inteiro k.

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