Use o Algoritmo da Divisão para provar que todo número ímpar é da forma
ou da forma
para algum inteiro
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, usando o Algoritmo da Divisão, qualquer número ímpar
pode ser escrito como
ou como
, com
. Vamos aplicar o Algoritmo da Divisão com divisor 4 e usar a definição de número ímpar (não divisível por 2).
Passo 2
Pelo Algoritmo da Divisão, para todo
existem únicos
tais que
com
Passo 3
Examinamos a paridade de
em cada caso de
:
- Se
, então , múltiplo de 2, logo é par. - Se
, então . Como é par, é ímpar. - Se
, então , múltiplo de 2, logo é par. - Se
, então , que não é múltiplo de 2, logo é ímpar.
Passo 4
Para que
seja ímpar, só restam os casos
ou
. Assim, existem
(basta tomar
) tais que
Resposta
Ficou provado que todo número ímpar é da forma
ou
para algum inteiro
.