Prove que o quadrado de todo número ímpar a, a^{2}, é da forma 8 k+1 para algum inteiro k.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se a é um número ímpar qualquer, então o seu quadrado \,a^{2}\, pode ser escrito como
8k + 1
para algum inteiro k. O conteúdo usado será a definição de número ímpar e um argumento sobre paridade de produtos.

Passo 2

Como a é ímpar, podemos escrevê-lo na forma
a = 2n + 1
para algum n\in\mathbb{Z}. Isso é a definição de número ímpar: um número que difere de um par por exatamente 1.

Passo 3

Agora elevamos ao quadrado:
a^{2} = (2n + 1)^{2} = 4n^{2} + 4n + 1.
Agrupando os dois primeiros termos, fica
a^{2} = 4\bigl(n^{2} + n\bigr) + 1.

Passo 4

Observe que n^{2}+n = n(n+1). Como n e n+1 são inteiros consecutivos, um deles é par, logo o produto n(n+1) é par. Portanto existe um inteiro m tal que
n(n+1) = 2m.
Substituindo em 4\bigl(n^{2}+n\bigr), temos
4\bigl(n^{2}+n\bigr) = 4\cdot 2m = 8m.

Passo 5

Juntando tudo,
a^{2} = 4\bigl(n^{2}+n\bigr) + 1 = 8m + 1.
Basta então tomar k = m para concluir que a^{2} = 8k + 1 com k\in\mathbb{Z}, como queríamos.

Resposta

Mostramos que, para todo ímpar a, existe k\in\mathbb{Z} tal que
a^{2} = 8k + 1.

Exercícios relacionados