Prove que o quadrado de todo número ímpar
, é da forma
para algum inteiro
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é um número ímpar qualquer, então o seu quadrado
pode ser escrito como
para algum inteiro
. O conteúdo usado será a definição de número ímpar e um argumento sobre paridade de produtos.
Passo 2
Como
é ímpar, podemos escrevê-lo na forma
para algum
. Isso é a definição de número ímpar: um número que difere de um par por exatamente
.
Passo 3
Agora elevamos ao quadrado:
Agrupando os dois primeiros termos, fica
Passo 4
Observe que
. Como
e
são inteiros consecutivos, um deles é par, logo o produto
é par. Portanto existe um inteiro
tal que
Substituindo em
, temos
Passo 5
Juntando tudo,
Basta então tomar
para concluir que
com
, como queríamos.
Resposta
Mostramos que, para todo ímpar
, existe
tal que