Prove que quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se:
A cup B=B cup A ; A cap B=B cap A

Passo 1

O enunciado está na parte de teoria de conjuntos e pede para mostrar que a união e a interseção são comutativas, ou seja, para quaisquer conjuntos A e B valem
A cup B = B cup A e A cap B = B cap A
Vamos usar a técnica de dupla inclusão: para provar que dois conjuntos X e Y são iguais, mostramos primeiro Xsubseteq Y e depois Ysubseteq X.

Passo 2

Provar A cup B subseteq B cup A.
Seja xin Acup B. Por definição de união, isto significa
xin A ou xin B
Em qualquer dos casos, temos “ xin B ou xin A”, então xin Bcup A. Logo
Acup B subseteq Bcup A

Passo 3

Provar B cup A subseteq A cup B.
Seja xin Bcup A. Então
xin B ou xin A,
o que implica “ xin A ou xin B”, ou seja, xin Acup B. Portanto
Bcup A subseteq Acup B

Passo 4

Como mostramos Acup Bsubseteq Bcup A e Bcup Asubseteq Acup B, concluímos por dupla inclusão que
Acup B = Bcup A

Passo 5

Provar A cap B subseteq B cap A.
Seja xin Acap B. Por definição de interseção,
xin A e xin B
Isto é equivalente a dizer
xin B e xin A,
ou seja, xin Bcap A. Logo
Acap B subseteq Bcap A

Passo 6

Provar B cap A subseteq A cap B.
Seja xin Bcap A. Então
xin B e xin A,
o que implica
xin A e xin B,
ou seja, xin Acap B. Portanto
Bcap A subseteq Acap B

Passo 7

Pela dupla inclusão em cada caso, concluímos também que
Acap B = Bcap A

Resposta

Acup B = Bcup A
Acap B = Bcap A

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