Prove que quaisquer que sejam os conjuntos
e
, tem-se:
Passo 1
O enunciado está na parte de teoria de conjuntos e pede para mostrar que a união e a interseção são comutativas, ou seja, para quaisquer conjuntos
e
valem
Vamos usar a técnica de dupla inclusão: para provar que dois conjuntos
e
são iguais, mostramos primeiro
e depois
.
Passo 2
Provar
.
Seja . Por definição de união, isto significa
Seja
Em qualquer dos casos, temos “
ou
”, então
. Logo
Passo 3
Provar
.
Seja . Então
Seja
o que implica “
ou
”, ou seja,
. Portanto
Passo 4
Como mostramos
e
, concluímos por dupla inclusão que
Passo 5
Provar
.
Seja . Por definição de interseção,
Seja
Isto é equivalente a dizer
ou seja,
. Logo
Passo 6
Provar
.
Seja . Então
Seja
o que implica
ou seja,
. Portanto
Passo 7
Pela dupla inclusão em cada caso, concluímos também que