Prove que quaisquer que sejam os conjuntos
e
, tem-se:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a união e a intersecção são operações associativas, isto é,
e
Vamos usar prova de dupla inclusão, mostrando em cada caso que um lado está contido no outro e vice-versa.
Passo 2
Prova de
. Seja
. Então ou
-
, caso em que e portanto ; -
, isto é, ou . Se então e logo . Se então imediatamente .
Em todos os casos, logo
Passo 3
Prova de
. Seja
. Então ou
-
, isto é, ou . Se então . Se então e assim . -
, então e portanto .
Logo
Com as duas inclusões concluímos a primeira igualdade.
Passo 4
Prova de
. Seja
. Então
e
, isto é,
e
. Daí
e também
, logo
Assim
Passo 5
Prova de
. Seja
. Então
e
, ou seja,
,
e
. Assim
e portanto
Logo
Com isso ambas as inclusões estão provadas.