Prove que quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se:
A cup(B cup C)=(A cup B) cup C ; A cap(B cap C)=(A cap B) cap C

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a união e a intersecção são operações associativas, isto é,
Acup(Bcup C)=(Acup B)cup C
e
Acap(Bcap C)=(Acap B)cap C
Vamos usar prova de dupla inclusão, mostrando em cada caso que um lado está contido no outro e vice-versa.

Passo 2

Prova de Acup(Bcup C)subseteq(Acup B)cup C. Seja xin Acup(Bcup C). Então ou
  1. xin A, caso em que xin Acup B e portanto xin(Acup B)cup C;
  2. xin Bcup C, isto é, xin B ou xin C. Se xin B então xin Acup B e logo xin(Acup B)cup C. Se xin C então imediatamente xin(Acup B)cup C.
    Em todos os casos xin(Acup B)cup C, logo
Acup(Bcup C)subseteq(Acup B)cup C

Passo 3

Prova de (Acup B)cup Csubseteq Acup(Bcup C). Seja xin(Acup B)cup C. Então ou
  1. xin Acup B, isto é, xin A ou xin B. Se xin A então xin Acup(Bcup C). Se xin B então xin Bcup C e assim xin Acup(Bcup C).
  2. xin C, então xin Bcup C e portanto xin Acup(Bcup C).
    Logo
(Acup B)cup Csubseteq Acup(Bcup C)
Com as duas inclusões concluímos a primeira igualdade.

Passo 4

Prova de Acap(Bcap C)subseteq(Acap B)cap C. Seja xin Acap(Bcap C). Então xin A e xin Bcap C, isto é, xin B e xin C. Daí xin Acap B e também xin C, logo
xin(Acap B)cap C
Assim
Acap(Bcap C)subseteq(Acap B)cap C

Passo 5

Prova de (Acap B)cap Csubseteq Acap(Bcap C). Seja xin(Acap B)cap C. Então xin Acap B e xin C, ou seja, xin A, xin B e xin C. Assim xin Bcap C e portanto
xin Acap(Bcap C)
Logo
(Acap B)cap Csubseteq Acap(Bcap C)
Com isso ambas as inclusões estão provadas.

Resposta

Acup(Bcup C)=(Acup B)cup C
Acap(Bcap C)=(Acap B)cap C

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