Sejam T1: R^2 longrightarrow R^3 e T2: R^2 longrightarrow R^3 transformações lineares definidas por T1(x, y)=(x+2 y, 2 x-y, x) e T2(x, y)=(-x, y, x+y). Determinar:
T1+T2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações lineares! A gente tem duas transformações lineares, T1 e T2, que vão de R^2 para R^3. A tarefa aqui é encontrar a soma dessas duas transformações, ou seja, T1 + T2. Para isso, vamos precisar lembrar como somar transformações lineares: basicamente, somamos as componentes correspondentes de cada transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as transformações dadas:
  • T1(x, y) = (x + 2y,; 2x - y,; x)
  • T2(x, y) = (-x,; y,; x + y)

Passo 3

Agora, vamos entender como somar T1 e T2. A soma de duas transformações lineares é feita somando-se cada componente das imagens das transformações. Ou seja,
(T1 + T2)(x, y) = T1(x, y) + T2(x, y)

Passo 4

Vamos somar as componentes correspondentes das duas transformações:
  • Primeira componente: (x + 2y) + (-x) = x + 2y - x = 2y
  • Segunda componente: (2x - y) + y = 2x - y + y = 2x
  • Terceira componente: x + (x + y) = x + x + y = 2x + y

Passo 5

Portanto, a transformação resultante da soma T1 + T2 é dada por:
(T1 + T2)(x, y) = (2y,; 2x,; 2x + y)

Resposta

A soma das transformações lineares é T1 + T2(x, y) = (2y,; 2x,; 2x + y).

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