Prove que para quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se:
A cup(B cap C)=(A cup B) cap(A cup C);

Passo 1

O enunciado nos pede para provar a lei distributiva da união em relação à interseção, ou seja, que para quaisquer conjuntos A, B e C vale
Acup (Bcap C) ;=; (Acup B),cap,(Acup C)
Para isso vamos usar o método do elemento genérico, mostrando as duas inclusões.

Passo 2

Provar Acup (Bcap C)subseteq (Acup B)cap(Acup C).
Seja xin Acup (Bcap C). Então ou
  1. xin A, ou
  2. xin Bcap C.
No caso 1, xin A implica imediatamente xin Acup B e xin Acup C, logo xin (Acup B)cap(Acup C).
No caso 2, xin Bcap C significa que xin B e xin C. Assim xin Acup B e xin Acup C, de novo dando xin (Acup B)cap(Acup C).
Portanto, em ambos os casos, xin (Acup B)cap(Acup C), provando a inclusão desejada.

Passo 3

Provar (Acup B)cap(Acup C)subseteq Acup (Bcap C).
Seja xin (Acup B)cap(Acup C). Isso quer dizer que
  1. xin Acup B, e
  2. xin Acup C.
Se xin A, então claramente xin Acup(Bcap C).
Se xnotin A, então da condição 1 vem xin B e da condição 2 vem xin C. Logo xin Bcap C, o que implica xin Acup(Bcap C).
Assim, em qualquer caso, xin Acup(Bcap C), completando a segunda inclusão.

Passo 4

Como mostramos as duas inclusões
Acup(Bcap C)subseteq (Acup B)cap(Acup C) e (Acup B)cap(Acup C)subseteq Acup(Bcap C),
concluímos que os dois conjuntos são iguais.

Resposta

Acup(Bcap C) ;=;(Acup B),cap,(Acup C)

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