Prove que para quaisquer que sejam os conjuntos
e
, tem-se:
;
Passo 1
O enunciado nos pede para provar a lei distributiva da união em relação à interseção, ou seja, que para quaisquer conjuntos
,
e
vale
Para isso vamos usar o método do elemento genérico, mostrando as duas inclusões.
Passo 2
Provar
.
Seja . Então ou
Seja
-
, ou -
.
No caso 1,
implica imediatamente
e
, logo
.
No caso 2, significa que
e
. Assim
e
, de novo dando
.
Portanto, em ambos os casos, , provando a inclusão desejada.
No caso 2,
Portanto, em ambos os casos,
Passo 3
Provar
.
Seja . Isso quer dizer que
Seja
-
, e -
.
Se
, então claramente
.
Se , então da condição 1 vem
e da condição 2 vem
. Logo
, o que implica
.
Assim, em qualquer caso, , completando a segunda inclusão.
Se
Assim, em qualquer caso,
Passo 4
Como mostramos as duas inclusões
concluímos que os dois conjuntos são iguais.