Sejam
. Definamos:
Prove que:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que o complemento da união de dois conjuntos
e
em relação ao universo
é igual à interseção dos complementos de
e
.
Matéria envolvida: Conjuntos e suas operações (união, interseção e complemento).
O que precisamos: Entender o que são complemento, união e interseção de conjuntos e como eles se relacionam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o complemento de um conjunto. O complemento de
no universo
, denotado por
, é o conjunto de todos os elementos que estão em
mas não estão em
. Ou seja,
Passo 3
Agora, vamos entender a união de dois conjuntos
. Esse conjunto contém todos os elementos que estão em
, ou em
, ou em ambos. Então, o complemento da união,
, será todos os elementos que não estão em
, ou seja,
Passo 4
Segundo a definição de interseção,
é o conjunto de todos os elementos que estão tanto em
quanto em
. Formalmente,
Passo 5
Agora, vamos comparar as duas expressões:
Pelo que vimos,
significa que
não está em
e
não está em
. Ou seja, as duas descrições são equivalentes!
Resposta
Portanto, mostramos que: