Sejam A, B subset U. Definamos:
CU A=x in U: x notin A ; A-B=a in A: a notin B
Prove que:
CU(A cup B)=CU A cap CU B;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que o complemento da união de dois conjuntos A e B em relação ao universo U é igual à interseção dos complementos de A e B .
Matéria envolvida: Conjuntos e suas operações (união, interseção e complemento).
O que precisamos: Entender o que são complemento, união e interseção de conjuntos e como eles se relacionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o complemento de um conjunto. O complemento de A no universo U , denotado por CU A , é o conjunto de todos os elementos que estão em U mas não estão em A . Ou seja,
CU A = x in U : x notin A

Passo 3

Agora, vamos entender a união de dois conjuntos A cup B . Esse conjunto contém todos os elementos que estão em A , ou em B , ou em ambos. Então, o complemento da união, CU (A cup B) , será todos os elementos que não estão em A cup B , ou seja,
CU (A cup B) = x in U : x notin A cup B

Passo 4

Segundo a definição de interseção, CU A cap CU B é o conjunto de todos os elementos que estão tanto em CU A quanto em CU B . Formalmente,
CU A cap CU B = x in U : x notin A e x notin B

Passo 5

Agora, vamos comparar as duas expressões:
  1. CU (A cup B) = x in U : x notin A cup B
  2. CU A cap CU B = x in U : x notin A e x notin B
Pelo que vimos, x notin A cup B significa que x não está em A e x não está em B . Ou seja, as duas descrições são equivalentes!

Resposta

Portanto, mostramos que:
CU (A cup B) = CU A cap CU B

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