Sejam
. Definamos:
Prove que:
;
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos
e
dentro de um conjunto universal
. As definições dadas são:
A matéria envolvida aqui é a Teoria dos Conjuntos, especificamente operações com conjuntos como complemento, interseção e união. Para resolver, vamos usar definições e propriedades dessas operações.
Passo 2
Queremos provar que:
Isso significa mostrar que o complemento da interseção de
e
é igual à união dos complementos de
e de
.
Passo 3
Vamos começar analisando o lado esquerdo da igualdade,
. Por definição, isso é:
O que significa que
não pertence simultaneamente a
e
.
Passo 4
Agora, vamos considerar o lado direito,
. Por definição de união de conjuntos:
Então, está dizendo que
não está em
ou não está em
.
Passo 5
Para provar que os dois lados são iguais, precisamos mostrar que qualquer elemento que está em
também está em
e vice-versa.
Passo 6
Primeiro, suponha que
. Então:
Isso significa que
não está ou
não contém
, ou
não contém
. Portanto:
Ou seja:
Então,
.
Passo 7
Agora, suponha que
. Então:
Se
ou
, então claramente
não está simultaneamente em
e
, ou seja:
Portanto:
Logo,
.
Passo 8
Como mostramos que
e
, concluímos que:
Resposta
Portanto, provamos que o complemento da interseção de
e
no conjunto universal
é igual à união dos complementos de
e de
: