Sejam A, B subset U. Definamos:
CU A=x in U: x notin A ; A-B=a in A: a notin B
Prove que:
CU(A cap B)=CU A cup CU B;

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois conjuntos A e B dentro de um conjunto universal U . As definições dadas são:
CU A = x in U : x notin A; A - B = a in A : a notin B
A matéria envolvida aqui é a Teoria dos Conjuntos, especificamente operações com conjuntos como complemento, interseção e união. Para resolver, vamos usar definições e propriedades dessas operações.

Passo 2

Queremos provar que:
CU(A cap B) = CU A cup CU B
Isso significa mostrar que o complemento da interseção de A e B é igual à união dos complementos de A e de B .

Passo 3

Vamos começar analisando o lado esquerdo da igualdade, CU(A cap B) . Por definição, isso é:
CU(A cap B) = x in U : x notin (A cap B)
O que significa que x não pertence simultaneamente a A e B .

Passo 4

Agora, vamos considerar o lado direito, CU A cup CU B . Por definição de união de conjuntos:
CU A cup CU B = x in U : x notin A ou x notin B
Então, está dizendo que x não está em A ou não está em B .

Passo 5

Para provar que os dois lados são iguais, precisamos mostrar que qualquer elemento que está em CU(A cap B) também está em CU A cup CU B e vice-versa.

Passo 6

Primeiro, suponha que x in CU(A cap B) . Então:
x notin (A cap B)
Isso significa que x não está ou A não contém x , ou B não contém x . Portanto:
x notin A ou x notin B
Ou seja:
x in CU A cup CU B
Então, CU(A cap B) subseteq CU A cup CU B .

Passo 7

Agora, suponha que x in CU A cup CU B . Então:
x notin A ou x notin B
Se x notin A ou x notin B , então claramente x não está simultaneamente em A e B , ou seja:
x notin (A cap B)
Portanto:
x in CU(A cap B)
Logo, CU A cup CU B subseteq CU(A cap B) .

Passo 8

Como mostramos que CU(A cap B) subseteq CU A cup CU B e CU A cup CU B subseteq CU(A cap B) , concluímos que:
CU(A cap B) = CU A cup CU B

Resposta

Portanto, provamos que o complemento da interseção de A e B no conjunto universal U é igual à união dos complementos de A e de B :
CU(A cap B) = CU A cup CU B

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