Encontre os últimos dois dígitos do número
. (Dica: Mostre que
, o que implica
Passo 1
Beleza, o problema é: “Encontre os últimos dois dígitos de
.” Isso é teoria de aritmética modular (números “mod”), e vamos usar:
- A noção de congruência modular (por exemplo, “
” diz que é múltiplo de ). - O Teorema de Euler (para reduzir expoentes quando a base é coprima ao módulo).
- Cálculo de potências módulo 10 e módulo 100 (pra achar os últimos dígitos).
Passo 2
Primeiro, mostramos que
Por que? A base 9 tem ciclo de tamanho 2 no módulo 10:
-
-
-
… e assim vai, sempre alternando 9,1,9,1,… Como 9 é ímpar,cai na posição de “resto 9”. Logo
Passo 3
Agora vamos achar
. Isso diz quantos são os últimos dois dígitos de
. Fazemos por potências rápidas:
Portanto
Passo 4
Queremos
. Como vimos,
, então
Para simplificar
, usamos o Teorema de Euler:
– Primeiro, .
– Como , vale
.
Então, escrevemos e obtemos
– Primeiro,
– Como
Então, escrevemos
Já sabemos de antes que
.
Resposta
Os últimos dois dígitos de
são 89.