Encontre os últimos dois dígitos do número 9^9^9. (Dica: Mostre que 9^9 equiv 9(bmod 10), o que implica 9^9 equiv 89(bmod 100))

Passo 1

Beleza, o problema é: “Encontre os últimos dois dígitos de .” Isso é teoria de aritmética modular (números “mod”), e vamos usar:
  • A noção de congruência modular (por exemplo, “ ” diz que é múltiplo de ).
  • O Teorema de Euler (para reduzir expoentes quando a base é coprima ao módulo).
  • Cálculo de potências módulo 10 e módulo 100 (pra achar os últimos dígitos).

Passo 2

Primeiro, mostramos que
9^9 equiv 9 pmod10
Por que? A base 9 tem ciclo de tamanho 2 no módulo 10:
  • 9^9equiv9pmod10

  • … e assim vai, sempre alternando 9,1,9,1,… Como 9 é ímpar, cai na posição de “resto 9”. Logo

Passo 3

Agora vamos achar 9^9equiv89pmod100 . Isso diz quantos são os últimos dois dígitos de . Fazemos por potências rápidas:
Portanto

Passo 4

Queremos 9^9^9equiv9^89pmod100 . Como vimos, 9^89 = 9^2cdot40+9 = (9^40)^2cdot9^9 equiv 1^2cdot9^9 equiv 9^9 pmod100 , então
Para simplificar , usamos o Teorema de Euler:
– Primeiro, .
– Como , vale .
Então, escrevemos e obtemos
Já sabemos de antes que .

Resposta

Os últimos dois dígitos de são 89.

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