Prove que para qualquer n
dim(L1+L2+ldots+Ln)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a dimensão da soma de n subespaços é menor que a soma das suas dimensões. O conteúdo principal é o Teorema do Núcleo e Imagem (ou Teorema da Dimensão) aplicado a uma aplicação linear que “soma” vetores de cada Li.

Passo 2

Definimos a aplicação linear φ: L₁×L₂×⋯×Lₙ → V por φ(x₁,x₂,…,xₙ) = x₁ + x₂ + ⋯ + xₙ. Note que o espaço domínio tem dimensão dim(L₁) + dim(L₂) + ⋯ + dim(Lₙ).

Passo 3

Mostramos que φ é linear por checar φ(u+v)=φ(u)+φ(v) e φ(αu)=αφ(u). Além disso, a imagem de φ é exatamente L₁+L₂+⋯+Lₙ, pois qualquer soma de vetores vindos de cada Li aparece como φ(x₁,…,xₙ).

Passo 4

Pelo Teorema da Dimensão (Rank–Nullity) temos
dim(ker φ) + dim(Imφ) = dim(L₁×⋯×Lₙ) = sumi=1^ndim(Li)
Como Imφ = L₁+⋯+Lₙ, segue
dim(L₁+⋯+Lₙ) = sumi=1^ndim(Li) - dim(ker φ)

Passo 5

Como dim(ker φ)>=0, obtemos
dim(L₁+⋯+Lₙ) <= sumi=1^ndim(Li)
Além disso, se a soma não for direta (isto é, existir relação linear não trivial x₁+⋯+xₙ=0 com algum xineq0), então dim(ker φ)>0 e a desigualdade torna-se estrita.

Resposta

dim(L1+L2+cdots+Ln)

Exercícios relacionados