Prove que para qualquer
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a dimensão da soma de n subespaços é menor que a soma das suas dimensões. O conteúdo principal é o Teorema do Núcleo e Imagem (ou Teorema da Dimensão) aplicado a uma aplicação linear que “soma” vetores de cada Li.
Passo 2
Definimos a aplicação linear φ: L₁×L₂×⋯×Lₙ → V por φ(x₁,x₂,…,xₙ) = x₁ + x₂ + ⋯ + xₙ. Note que o espaço domínio tem dimensão dim(L₁) + dim(L₂) + ⋯ + dim(Lₙ).
Passo 3
Mostramos que φ é linear por checar φ(u+v)=φ(u)+φ(v) e φ(αu)=αφ(u). Além disso, a imagem de φ é exatamente L₁+L₂+⋯+Lₙ, pois qualquer soma de vetores vindos de cada Li aparece como φ(x₁,…,xₙ).
Passo 4
Pelo Teorema da Dimensão (Rank–Nullity) temos
Como
, segue
Passo 5
Como
, obtemos
Além disso, se a soma não for direta (isto é, existir relação linear não trivial
com algum
), então
e a desigualdade torna-se estrita.