Resolver as seguintes equações irracionais
raiz1+3 x-raiz4+x=1

Passo 1

O exercício pede para resolver a equação irracional raiz1+3 x - raiz4+x = 1. Esse tipo de problema é do conteúdo de equações com raízes quadradas e vamos precisar: (1) determinar o domínio de definição, (2) isolar um radical, (3) elevar ao quadrado com cuidado e (4) verificar possíveis soluções extranhas.

Passo 2

Determinamos o domínio exigindo que os radicandos sejam não-negativos. Para raiz1+3x precisamos 1+3x>= 0 e para raiz4+x precisamos 4+x>= 0. Assim,
1+3x>= 0, 4+x>= 0
Isso leva a x>= -tfrac13 e x>= -4. O mais restritivo é x>= -tfrac13, então o domínio é x>= -tfrac13.

Passo 3

Isolamos um dos radicais, por exemplo raiz1+3x, deixando na forma raiz1+3x = 1 + raiz4+x. Agora elevamos ao quadrado ambos os lados:
(raiz1+3x)^2 = l(1 + raiz4+xr)^2
1+3x = 1 + 2raiz4+x + (4+x)
Reorganizando:
1+3x = 5 + x + 2raiz4+x
Isolando o termo com raiz:
2raiz4+x = 1+3x -5 -x = 2x -4
Dividindo por 2:
raiz4+x = x-2

Passo 4

Como o lado esquerdo raiz4+x é >= 0, devemos ter x-2>= 0, ou seja x>= 2. Mantendo isso, elevamos ao quadrado novamente:
(raiz4+x)^2 = (x-2)^2
4+x = x^2 -4x+4
Logo:
x^2 -5x = 0 Longrightarrow x(x-5)=0

Passo 5

Assim obtemos x=0 ou x=5. Verificamos que x=0 não satisfaz a restrição x>= 2, e que x=5 satisfaz todas as condições e confere na equação original, pois
raiz1+3cdot5 - raiz4+5 = raiz16 - raiz9 = 4 - 3 = 1

Resposta

x = 5

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