Resolver as seguintes equações irracionais
raiz3+2 x-raizx-2=raiz1+x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação irracional raiz3+2x-raizx-2=raiz1+x. O conteúdo é resolução de equações com radicais, e vamos precisar isolar radicais e usar o método de elevar ao quadrado respeitando o domínio.

Passo 2

Primeiro determinamos o domínio. Cada radicando deve ser não negativo:
3+2x>=0 implica x>=-tfrac32,
x-2>=0 implica x>=2,
1+x>=0 implica x>=-1.
A interseção é x>=2.

Passo 3

Agora isolamos um radical, por exemplo:
raiz3+2x=raiz1+x+raizx-2
Isso prepara para elevar ao quadrado.

Passo 4

Elevamos ambos os lados ao quadrado:
Lado esquerdo: 3+2x.
Lado direito:
(raiz1+x+raizx-2)^2=(1+x)+(x-2)+2raiz(1+x)(x-2)=2x-1+2raiz(x+1)(x-2)
Igualando:
3+2x=2x-1+2raiz(x+1)(x-2)
Isso isola o radical.

Passo 5

Isolamos o radical:
3+2x-(2x-1)=2raiz(x+1)(x-2)Rightarrow4=2raiz(x+1)(x-2)Rightarrowraiz(x+1)(x-2)=2

Passo 6

Elevamos novamente ao quadrado:
(x+1)(x-2)=4Rightarrow x^2-x-2=4Rightarrow x^2-x-6=0
Resolvendo a quadrática:
x=1pmraiz1+242=1pm52implies x=3 ou x=-2

Passo 7

Verificamos no domínio x>=2: apenas x=3 é admissível. Checando na equação original:
raiz3+2cdot3-raiz3-2=raiz9-raiz1=3-1=2
e
raiz1+3=raiz4=2,
logo satisfaz. Portanto a única solução é x=3.

Resposta

x=3

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