Seja Pk o conjunto dos polinômios de grau menor igual que n.
a) Prove que o conjunto de todos os polinômios pares L1, i.e, p(x)=p(-x), e o conjunto de todos os polinômios impares, i.e, p(x)=-p(-x) L2 são subespaços vetoriais.
b) Prove que Pk(x)=L1 oplus L2
c) Ache o subespaço complementar a

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos o espaço vetorial P_k dos polinômios de grau ≤ k. Definimos L₁={p∈P_k:p(x)=p(−x)} (polinômios pares), L₂={p∈P_k:p(x)=−p(−x)} (polinômios ímpares) e L₃={p∈P_k:p(1)=0}. Vamos usar os critérios de subespaço (contém o vetor zero, fechado em soma e multiplicação escalar), definição de soma direta e decomposição de polinômios, além de achar um complementar de L₃.

Passo 2

Para mostrar que L₁ é subespaço, primeiro observamos que o polinômio zero satisfaz 0(x)=0(−x), logo 0∈L₁. Depois, para p,q∈L₁ temos p(x)=p(−x) e q(x)=q(−x). Então, para todo escalar α,
(αp+q)(-x)=αp(-x)+q(-x)=αp(x)+q(x)=(αp+q)(x)
ou seja, αp+q também é par, logo está em L₁. Portanto L₁ é subespaço.

Passo 3

A prova para L₂ é análoga: 0(x)=−0(−x) mostra 0∈L₂. Se p,q∈L₂ então p(x)=−p(−x) e q(x)=−q(−x). Assim, para todo escalar α,
(αp+q)(-x)=αp(-x)+q(-x)=−αp(x)−q(x)=−(αp+q)(x)
logo αp+q∈L₂, mostrando que L₂ é subespaço.

Passo 4

Agora, para a soma direta P_k=L₁⊕L₂, precisamos (i) L₁∩L₂={0} e (ii) L₁+L₂=P_k. (i) Se p∈L₁∩L₂ então p(x)=p(−x) e p(x)=−p(−x). Somando as duas igualdades, 2p(x)=0, logo p(x)=0 para todo x, isto é, p=0. (ii) Dado p∈P_k, definimos as projeções
ppar(x)=p(x)+p(-x)2,
pímpar(x)=p(x)-p(-x)2 í
Então p_{par}∈L₁ e p_{ímpar}∈L₂, e claramente p=p_{par}+p_{ímpar}. Assim P_k=L₁+L₂ e a soma é direta.

Passo 5

Para achar o complementar de L₃, note que L₃ é o hiperplano dos polinômios que anulam em x=1, de codimensão 1. Basta escolher um subespaço de dimensão 1 cujos polinômios não zero em x=1. Por exemplo, M=span{1} (polinômios constantes). De fato, dado p, escrevemos
p(x)=[p(x)-p(1)]+p(1)cdot1,
onde p(x)-p(1)∈L₃ e p(1)·1∈M. Além disso, L₃∩M={0}. Portanto P_k=L₃⊕M e M é o complemento procurado.

Resposta

a) L₁ e L₂ são subespaços de P_k.
b) P_k=L₁\oplus L₂.
c) Um complementar de L₃ é M=\mathrm{span}{1}, o subespaço dos polinômios constantes.

Exercícios relacionados