Seja
o conjunto dos polinômios de grau menor igual que
.
a) Prove que o conjunto de todos os polinômios pares
, i.e,
, e o conjunto de todos os polinômios impares, i.e,
são subespaços vetoriais.
b) Prove que
c) Ache o subespaço complementar a
a) Prove que o conjunto de todos os polinômios pares
b) Prove que
c) Ache o subespaço complementar a
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos o espaço vetorial P_k dos polinômios de grau ≤ k. Definimos L₁={p∈P_k:p(x)=p(−x)} (polinômios pares), L₂={p∈P_k:p(x)=−p(−x)} (polinômios ímpares) e L₃={p∈P_k:p(1)=0}. Vamos usar os critérios de subespaço (contém o vetor zero, fechado em soma e multiplicação escalar), definição de soma direta e decomposição de polinômios, além de achar um complementar de L₃.
Passo 2
Para mostrar que L₁ é subespaço, primeiro observamos que o polinômio zero satisfaz 0(x)=0(−x), logo 0∈L₁. Depois, para p,q∈L₁ temos p(x)=p(−x) e q(x)=q(−x). Então, para todo escalar α,
ou seja, αp+q também é par, logo está em L₁. Portanto L₁ é subespaço.
Passo 3
A prova para L₂ é análoga: 0(x)=−0(−x) mostra 0∈L₂. Se p,q∈L₂ então p(x)=−p(−x) e q(x)=−q(−x). Assim, para todo escalar α,
logo αp+q∈L₂, mostrando que L₂ é subespaço.
Passo 4
Agora, para a soma direta P_k=L₁⊕L₂, precisamos (i) L₁∩L₂={0} e (ii) L₁+L₂=P_k. (i) Se p∈L₁∩L₂ então p(x)=p(−x) e p(x)=−p(−x). Somando as duas igualdades, 2p(x)=0, logo p(x)=0 para todo x, isto é, p=0. (ii) Dado p∈P_k, definimos as projeções
Então p_{par}∈L₁ e p_{ímpar}∈L₂, e claramente p=p_{par}+p_{ímpar}. Assim P_k=L₁+L₂ e a soma é direta.
Passo 5
Para achar o complementar de L₃, note que L₃ é o hiperplano dos polinômios que anulam em x=1, de codimensão 1. Basta escolher um subespaço de dimensão 1 cujos polinômios não zero em x=1. Por exemplo, M=span{1} (polinômios constantes). De fato, dado p, escrevemos
onde p(x)-p(1)∈L₃ e p(1)·1∈M. Além disso, L₃∩M={0}. Portanto P_k=L₃⊕M e M é o complemento procurado.
Resposta
a) L₁ e L₂ são subespaços de P_k.
b) P_k=L₁\oplus L₂.
c) Um complementar de L₃ é M=\mathrm{span}{1}, o subespaço dos polinômios constantes.
b) P_k=L₁\oplus L₂.
c) Um complementar de L₃ é M=\mathrm{span}{1}, o subespaço dos polinômios constantes.