Prove que, para qualquer sequência crescente de eventos
vale:
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que, para qualquer sequência de eventos crescentes
vale a igualdade
Informações dadas e condições relevantes:
- Temos uma sequência
de eventos (subconjuntos do espaço amostral) tal que cada conjunto é contido no próximo. -
é uma medida de probabilidade, ou seja, satisfaz as propriedades básicas: , para todo evento , e é contavelmente aditiva em sequências de eventos disjuntos. - Não há informação adicional (por exemplo, figuras) faltando: a sequência crescente está totalmente especificada pelo enunciado.
Passo 2
Estratégia geral (sem resolver formalmente ainda, só para organizar a cabeça): vamos decompor a união crescente em uma união disjunta de “fatias” que aparecem entre um conjunto e o anterior. Essa decomposição transforma o problema em aplicar a propriedade de aditividade contável de
em conjuntos disjuntos, e comparar somas parciais com a sequência
. Agora vamos executar isso passo a passo.
Passo 3
Definição das fatias disjuntas. Para separar o que “entra” em cada passo, definimos os eventos
por
Explico cada símbolo:
-
significa “diferença de conjuntos”: é o conjunto dos pontos que estão em mas não em . - Assim,
é exatamente a parte nova que aparece em e que não estava em .
Passo 4
Propriedades das fatias
.
- As fatias são mutuamente disjuntas: para
temos . Isso decorre da definição: se um ponto está em ele está em e não em ; não pode estar também em com porque as faixas foram separadas por diferença. - A união das fatias recupera a união crescente original:
Justificativa curta: qualquer ponto da união dos
pertence a algum
; escolha o menor
possível, então esse ponto está em
. Reciprocamente, cada
, então todo ponto da união das
está na união das
.
Passo 5
Aplicação da aditividade contável de
às fatias disjuntas. Como as
são disjuntas e
é contavelmente aditiva, temos
Aqui usei duas coisas: (i) a igualdade das uniões (Passo 4) e (ii) a propriedade de medida que diz que a probabilidade da união de conjuntos disjuntos é a soma das probabilidades.
Passo 6
Relação entre
e as somas parciais das probabilidades das fatias. Note que, para cada
,
porque
é formado por tudo que entrou até o passo
. Como nessa união as
são disjuntas, pela aditividade finita temos
Portanto a sequência
é exatamente a sequência das somas parciais da série
.
Passo 7
Conclusão por limite de somas parciais. Como cada
(probabilidades são não negativas), as somas parciais
formam uma sequência monótona crescente (cada
). Também essa sequência é limitada superiormente por
portanto a sequência de somas parciais converge para a soma da série. Logo
Mas no Passo 5 mostramos que
. Portanto juntando as igualdades obtemos
Passo 8
Observação final e intuição: a prova essencialmente diz que, quando os conjuntos aumentam, a probabilidade também só aumenta e a probabilidade da união final é o “limite” do que já foi acumulado passo a passo. A construção das fatias
é uma técnica padrão para transformar um problema com conjuntos aninhados em um problema com conjuntos disjuntos, onde a aditividade contável é imediatamente aplicável. Se preferir, em linguagem habitual: probabilidades têm “continuidade por baixo” — elas respeitam limites crescentes de eventos.