Prove que, para qualquer sequência crescente de eventos
A_{1} \subseteq A_{2} \subseteq A_{3} \subseteq \cdots,
vale:
P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} P\left(A_{n}\right) .

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que, para qualquer sequência de eventos crescentes
A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}\subseteq\cdots,
vale a igualdade
P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n}\right)=\lim_{n\to\infty}P(A_{n}).
Informações dadas e condições relevantes:
  • Temos uma sequência \{A_{n}\}_{n\ge1} de eventos (subconjuntos do espaço amostral) tal que cada conjunto é contido no próximo.
  • P é uma medida de probabilidade, ou seja, satisfaz as propriedades básicas: P(\varnothing)=0, 0\le P(E)\le1 para todo evento E, e é contavelmente aditiva em sequências de eventos disjuntos.
  • Não há informação adicional (por exemplo, figuras) faltando: a sequência crescente está totalmente especificada pelo enunciado.

Passo 2

Estratégia geral (sem resolver formalmente ainda, só para organizar a cabeça): vamos decompor a união crescente em uma união disjunta de “fatias” que aparecem entre um conjunto e o anterior. Essa decomposição transforma o problema em aplicar a propriedade de aditividade contável de P em conjuntos disjuntos, e comparar somas parciais com a sequência P(A_n). Agora vamos executar isso passo a passo.

Passo 3

Definição das fatias disjuntas. Para separar o que “entra” em cada passo, definimos os eventos \{B_{n}\}_{n\ge1} por
B_{1}=A_{1},\qquad B_{n}=A_{n}\setminus A_{n-1}\\ \text{ para }n\ge2.
Explico cada símbolo:
  • \setminus significa “diferença de conjuntos”: A_{n}\setminus A_{n-1} é o conjunto dos pontos que estão em A_{n} mas não em A_{n-1}.
  • Assim, B_{n} é exatamente a parte nova que aparece em A_{n} e que não estava em A_{n-1}.

Passo 4

Propriedades das fatias \{B_{n}\}.
  1. As fatias são mutuamente disjuntas: para i\neq j temos B_{i}\cap B_{j}=\varnothing. Isso decorre da definição: se um ponto está em B_{i} ele está em A_{i} e não em A_{i-1}; não pode estar também em B_{j} com j\neq i porque as faixas foram separadas por diferença.
  2. A união das fatias recupera a união crescente original:
\bigcup_{n=1}^{\infty}B_{n}=\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}.
Justificativa curta: qualquer ponto da união dos A_{n} pertence a algum A_{m}; escolha o menor m possível, então esse ponto está em B_{m}. Reciprocamente, cada B_{n}\subseteq A_{n}, então todo ponto da união das B_{n} está na união das A_{n}.

Passo 5

Aplicação da aditividade contável de P às fatias disjuntas. Como as B_{n} são disjuntas e P é contavelmente aditiva, temos
P\!\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\right) = P\!\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}B_{n}\right) = \sum_{n=1}^{\infty} P(B_{n}).
Aqui usei duas coisas: (i) a igualdade das uniões (Passo 4) e (ii) a propriedade de medida que diz que a probabilidade da união de conjuntos disjuntos é a soma das probabilidades.

Passo 6

Relação entre P(A_{n}) e as somas parciais das probabilidades das fatias. Note que, para cada n,
A_{n}=\bigcup_{k=1}^{n}B_{k},
porque A_{n} é formado por tudo que entrou até o passo n. Como nessa união as B_{k} são disjuntas, pela aditividade finita temos
P(A_{n})=\sum_{k=1}^{n}P(B_{k}).
Portanto a sequência \{P(A_{n})\} é exatamente a sequência das somas parciais da série \sum_{n=1}^{\infty}P(B_{n}).

Passo 7

Conclusão por limite de somas parciais. Como cada P(B_{k})\ge0 (probabilidades são não negativas), as somas parciais
S_{n}:=\sum_{k=1}^{n}P(B_{k})=P(A_{n})
formam uma sequência monótona crescente (cada S_{n+1}=S_{n}+P(B_{n+1})\ge S_{n}). Também essa sequência é limitada superiormente por
S_{n}\le \sum_{k=1}^{\infty}P(B_{k})=P\!\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k}\right)\le1,
portanto a sequência de somas parciais converge para a soma da série. Logo
\lim_{n\to\infty}P(A_{n})=\lim_{n\to\infty}S_{n}=\sum_{k=1}^{\infty}P(B_{k}).
Mas no Passo 5 mostramos que \sum_{k=1}^{\infty}P(B_{k})=P\!\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\right). Portanto juntando as igualdades obtemos
\lim_{n\to\infty}P(A_{n})=P\!\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\right).

Passo 8

Observação final e intuição: a prova essencialmente diz que, quando os conjuntos aumentam, a probabilidade também só aumenta e a probabilidade da união final é o “limite” do que já foi acumulado passo a passo. A construção das fatias B_{n} é uma técnica padrão para transformar um problema com conjuntos aninhados em um problema com conjuntos disjuntos, onde a aditividade contável é imediatamente aplicável. Se preferir, em linguagem habitual: probabilidades têm “continuidade por baixo” — elas respeitam limites crescentes de eventos.

Resposta

P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n}\right)=\lim_{n\to\infty}P\left(A_{n}\right).

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