Seja
e
. Mostre que
é um subespaço vetorial e determine sua dimensão.
Passo 1
O enunciado define
e
O objetivo é mostrar que
é um subespaço de
(isto é, contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar) e, em seguida, determinar
.
Passo 2
Mostramos que o vetor zero de
pertence a
. Basta escolher
. Então
que é o vetor nulo de
. Logo,
.
Passo 3
Verificamos a fechamento de
sob adição. Sejam
com
. Então
e como
, segue que
.
Passo 4
Verificamos o fechamento de
sob multiplicação escalar. Seja
e
Então
e como
, segue que
.
Passo 5
Dos passos anteriores concluímos que
é de fato um subespaço vetorial de
. Além disso, como todos os vetores de
são múltiplos de
, vemos que
ou seja,
é uma base de
. Portanto,