Seja V=R^3 e S=v in V mid v=k(1,2,3), k in R. Mostre que S é um subespaço vetorial e determine sua dimensão.

Passo 1

O enunciado define V=R^3 e
S = ,vin V mid v = k(1,2,3), kinR
O objetivo é mostrar que S é um subespaço de V (isto é, contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar) e, em seguida, determinar dim(S).

Passo 2

Mostramos que o vetor zero de V pertence a S. Basta escolher k=0. Então
0cdot(1,2,3) = (0,0,0),
que é o vetor nulo de R^3. Logo, (0,0,0)in S.

Passo 3

Verificamos a fechamento de S sob adição. Sejam
v1 = k1(1,2,3)e v2 = k2(1,2,3)
com k1,k2inR. Então
v1+v2 = k1(1,2,3) + k2(1,2,3) = (k1 + k2),(1,2,3),
e como k1+k2inR, segue que v1+v2in S.

Passo 4

Verificamos o fechamento de S sob multiplicação escalar. Seja lambdainR e
v = k(1,2,3)in S
Então
lambda v = lambdal(k(1,2,3)r) = (lambda k),(1,2,3),
e como lambda kinR, segue que lambda vin S.

Passo 5

Dos passos anteriores concluímos que S é de fato um subespaço vetorial de V. Além disso, como todos os vetores de S são múltiplos de (1,2,3), vemos que
S = span(1,2,3),
ou seja, (1,2,3) é uma base de S. Portanto,
dim(S) = 1

Resposta

S é um subespaço vetorial de R^3 e dim(S)=1.

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