Resolva as equações:
t y^prime-y=-t^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a equação diferencial t y^prime - y = -t^2. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais de 1ª ordem, especificamente as equações lineares. Para resolver, vamos precisar rearranjar a equação para colocar na forma padrão e usar um fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação linear. Isso significa reorganizar para ter y' sozinho de um lado:
t y^prime - y = -t^2
Dividindo todos os termos por t (desde que t neq 0):
y^prime - yt = -t
Agora, temos a equação na forma y' + P(t) y = Q(t), onde P(t) = -1t e Q(t) = -t.

Passo 3

Em seguida, precisamos encontrar o fator integrante ( mu(t)) que nos ajuda a resolver a equação. O fator integrante é dado por:
mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral -1t dt = e^-ln t = t^-1
Então, mu(t) = 1t.

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pela fator integrante para facilitar a integração:
1t y^prime - 1t^2 y = -1
Isso pode ser reescrito como a derivada do produto mu(t) y:
ddt ( yt ) = -1

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a t:
integral ddt ( yt ) dt = integral -1 , dt
Isso nos dá:
yt = -t + C
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, resolvemos para y:
y = t(-t + C) = -t^2 + C t

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C t - t^2

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