Prove que a relação dada é uma solução implícita da equação diferencial fornecida.
x^2-sen(x+y)=1 y^prime=2 x sec (x+y)-1

Passo 1

O enunciado nos dá a relação implícita
x^2-sin(x+y)=1
e afirma que ela resolve a equação diferencial
y' = 2xsec(x+y)-1
O conteúdo aqui é derivação implícita: vamos diferenciar em relação a x e ver se o y' que surge coincide com o dado.

Passo 2

Derivando cada termo de
x^2-sin(x+y)=1
temos
ddxl(x^2r)-ddxl(sin(x+y)r) =ddx(1)
Como ddx(x^2)=2x, ddx(1)=0 e, pela regra da cadeia,
ddxl(sin(x+y)r) =cos(x+y),ddxl(x+yr) =cos(x+y),(1+y'),
obtemos
2x - cos(x+y),(1+y') = 0

Passo 3

Agora isolamos y' na equação
2x - cos(x+y),(1+y') = 0 Longrightarrow cos(x+y),(1+y') = 2x
Dividindo por cos(x+y),
1+y' = 2xcos(x+y) Longrightarrow y' = 2xcos(x+y) - 1 = 2x,sec(x+y) - 1

Passo 4

O valor de y' que obtivemos por derivação implícita
y' = 2x,sec(x+y)-1
é exatamente a equação diferencial dada. Portanto a relação
x^2-sin(x+y)=1
é de fato uma solução implícita da EDO.

Resposta

A derivada y' extraída da relação implícita coincide com 2xsec(x+y)-1, logo ela é solução da equação diferencial.

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