Prove que a relação dada é uma solução implícita da equação diferencial fornecida.
e^x y+y=x-1 ; y^prime=e^-x y-ye^-x y+x

Passo 1

O enunciado nos dá a relação implícita
e^x y+y = x-1
e a equação diferencial
y' = e^-x y-ye^-x y+x,
O que precisamos é diferenciar implicitamente a primeira relação e mostrar que o resultado coincide com a expressão de y' dada.

Passo 2

Diferenciando ambos os lados de
e^x y+y = x-1
em relação a x, obtemos
ddxl(e^x yr) + ddx(y) = ddx(x-1)
Como
ddxl(e^x yr) = e^x y,(y + x,y') e ddx(y)=y',
fica
e^x y(y + x,y') + y' = 1

Passo 3

Agrupando os termos com y' em um lado, temos
e^x yy + y'l(e^x yx + 1r) = 1 Longrightarrow y' = 1 - e^x yye^x yx + 1

Passo 4

Para obter a forma desejada, multiplicamos numerador e denominador por e^-x y:
y' = e^-x yl(1 - e^x yyr)e^-x yl(e^x yx + 1r) = e^-x y - yx + e^-x y = e^-x y - ye^-x y + x,
que é exatamente a expressão dada para y'.

Resposta

A diferenciação implícita da relação e^x y+y=x-1 leva à expressão
y'=e^-x y-ye^-x y+x,
logo a relação dada é de fato uma solução implícita da equação diferencial.

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