Resolva as equações diferenciais a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício pede para resolver a equação diferencial:
Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de manipulação algébrica e métodos de resolução de equações diferenciais, especificamente a separação de variáveis ou substituições que facilitem a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos manipular a equação para isolar
. Começamos com:
Vamos mover o termo que contém
para o outro lado da igualdade:
Agora, isolamos
:
Passo 3
Nossa próxima meta é separar as variáveis
e
para facilitar a integração. Reescrevemos a equação de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
do outro:
Passo 4
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Primeiro, olhamos para a integral à esquerda:
Aqui, percebemos que
está misturado com
, o que complica um pouco. Para simplificar, vamos fazer uma substituição. Seja
, então a derivada de
em relação a
é:
Substituindo isso na integral:
Agora, substituímos
de volta:
Passo 5
Integrando o lado direito da equação:
Agora, igualamos as integrais dos dois lados:
Passo 6
Para simplificar, podemos multiplicar ambos os lados por 2:
Essa é a forma implícita da solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é a constante de integração.