Resolva as equações diferenciais a seguir:
y^2-1-(2 y+x y) y prime=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. O exercício pede para resolver a equação diferencial:
y^2 - 1 - (2 y + x y) y' = 0
Isso faz parte da matéria de Equações Diferenciais Ordinárias. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de manipulação algébrica e métodos de resolução de equações diferenciais, especificamente a separação de variáveis ou substituições que facilitem a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos manipular a equação para isolar y' . Começamos com:
y^2 - 1 - (2 y + x y) y' = 0
Vamos mover o termo que contém y' para o outro lado da igualdade:
(2 y + x y) y' = y^2 - 1
Agora, isolamos y' :
y' = y^2 - 1(2 + x) y

Passo 3

Nossa próxima meta é separar as variáveis y e x para facilitar a integração. Reescrevemos a equação de forma que todos os termos com y fiquem de um lado e os termos com x do outro:
y(2 + x)y^2 - 1 dy = dx

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Primeiro, olhamos para a integral à esquerda:
integral y(2 + x)y^2 - 1 dy
Aqui, percebemos que x está misturado com y , o que complica um pouco. Para simplificar, vamos fazer uma substituição. Seja u = y^2 - 1 , então a derivada de u em relação a y é:
du = 2y , dy Rightarrow dy = du2y
Substituindo isso na integral:
integral y(2 + x)u cdot du2y = 2 + x2 integral 1u du = 2 + x2 ln|u| + C
Agora, substituímos u de volta:
2 + x2 ln|y^2 - 1| + C

Passo 5

Integrando o lado direito da equação:
integral dx = x + C
Agora, igualamos as integrais dos dois lados:
2 + x2 ln|y^2 - 1| = x + C

Passo 6

Para simplificar, podemos multiplicar ambos os lados por 2:
(2 + x) ln|y^2 - 1| = 2x + C
Essa é a forma implícita da solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
(2 + x) ln|y^2 - 1| = 2x + C
Onde C é a constante de integração.

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