Represente graficamente cada um dos seguintes conjuntos. Se o conjunto for convexo, apresente uma prova. Se não for convexo, dê um contra-exemplo.
(x, y) mid y >= 2 x-x^2 ; x>0, y>0.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
(x,y)mid y>= 2x-x^2,;x>0,;y>0
ou seja, a região do plano primeiro-quadrante (pois x>0 e y>0) que fica por cima da parábola
;y=2x-x^2,
cuja concavidade é voltada para baixo, vértice em (1,1) e raízes em (0,0) e (2,0).

Passo 2

Para representar graficamente, desenhe o sistema de eixos x y, trace a parábola
y=2x-x^2
com vértice em (1,1) e interceptos em (0,0), (2,0). A região pedida é a união de:
— Para 0<x<2, a parte do plano acima da curva y=2x-x^2 (e acima do eixo x, mas aí a curva já está acima do eixo).
— Para x>2, a parte do plano acima de y=0.
Em outras palavras, sombreie tudo que está acima da parábola entre x=0 e x=2, e para a direita de x=2 sombreie toda a região acima do eixo x.

Passo 3

Para ver se o conjunto é convexo, lembramos que um conjunto é convexo se, para quaisquer dois pontos nele, todo ponto do segmento que os une também pertence ao conjunto. Vamos dar um contra-exemplo:
Escolha
P=(0,5,;2cdot0,5 - (0,5)^2)=(0,5,;0,75),
que satisfaz y=0,75>=2cdot0,5-(0,5)^2, e
Q=(2,5,;0,1),
que satisfaz y=0,1>0 (logo acima de y=0 e acima de 2x-x^2, que ali vale 2cdot2,5-(2,5)^2=-1,25).
O ponto médio é
M=P+Q2=l(1,5,;tfrac0,75+0,12r)=(1,5,;0,425)
Mas na parábola, em x=1,5, temos
2cdot1,5-(1,5)^2=3-2,25=0,75,
e 0,425<0,75. Logo M fica abaixo da curva e não pertence ao conjunto. Assim o segmento PQ sai do conjunto, mostrando que ele não é convexo.

Resposta

O conjunto representa a região acima da parábola y=2x-x^2 no primeiro quadrante e não é convexo, como mostra o contra-exemplo dos pontos P=(0,5,0,75) e Q=(2,5,0,1), cujo ponto médio não pertence ao conjunto.

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