Represente graficamente cada um dos seguintes conjuntos. Se o conjunto for convexo, apresente uma prova. Se não for convexo, dê um contra-exemplo.
.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
ou seja, a região do plano primeiro-quadrante (pois
e
) que fica por cima da parábola
cuja concavidade é voltada para baixo, vértice em
e raízes em
e
.
Passo 2
Para representar graficamente, desenhe o sistema de eixos
–
, trace a parábola
com vértice em
e interceptos em
,
. A região pedida é a união de:
— Para , a parte do plano acima da curva
(e acima do eixo
, mas aí a curva já está acima do eixo).
— Para , a parte do plano acima de
.
— Para
— Para
Em outras palavras, sombreie tudo que está acima da parábola entre
e
, e para a direita de
sombreie toda a região acima do eixo
.
Passo 3
Para ver se o conjunto é convexo, lembramos que um conjunto é convexo se, para quaisquer dois pontos nele, todo ponto do segmento que os une também pertence ao conjunto. Vamos dar um contra-exemplo:
Escolha
que satisfaz
, e
que satisfaz
(logo acima de
e acima de
, que ali vale
).
O ponto médio é
Mas na parábola, em
, temos
e
. Logo
fica abaixo da curva e não pertence ao conjunto. Assim o segmento
sai do conjunto, mostrando que ele não é convexo.
Resposta
O conjunto representa a região acima da parábola
no primeiro quadrante e não é convexo, como mostra o contra-exemplo dos pontos
e
, cujo ponto médio não pertence ao conjunto.