Prove:
Se f e g são contínuas em [a, b] e f(a)>g(a), f(b)<g(b), então existe no mínimo uma solução para a equação f(x)=g(x) em (a, b). [Sugestão: Considere f(x)-g(x).]
Use o Teorema 1.5.5 para provar que se f for contínua em x=c, então lim h 0 f(c+h)=f(c).

Passo 1

O enunciado afirma que f e g são funções contínuas em [a,b] e satisfazem
f(a)>g(a), f(b)<g(b)
Queremos provar que existe cin(a,b) tal que
f(c)=g(c)
Para isso vamos usar o Teorema do Valor Intermediário e, como sugestão, definir a função
h(x)=f(x)-g(x)
Além disso, usaremos o Teorema 1.5.5 (continuidade implica limite) para mostrar que h é contínua.

Passo 2

Defina h(x)=f(x)-g(x). Como soma e diferença de funções contínuas é contínua, concluímos que
h é contínua em [a,b] éí
De fato, pelo Teorema 1.5.5, para qualquer cin[a,b] vale
limxto cf(x)=f(c) e limxto cg(x)=g(c),
logo, pelas propriedades de limite,
limxto ch(x) =limxto cl(f(x)-g(x)r) =limxto cf(x)-limxto cg(x) =f(c)-g(c) =h(c),
o que mostra que h é contínua em c, e como c era arbitrário, em todo [a,b].

Passo 3

Calculemos os valores de h nas extremidades:
h(a)=f(a)-g(a)>0, h(b)=f(b)-g(b)<0
Portanto, h(a) e h(b) têm sinais opostos.

Passo 4

Pelo Teorema do Valor Intermediário aplicado a h (que é contínua em [a,b]), existe pelo menos um ponto
cin(a,b)
tal que
h(c)=0
Mas h(c)=f(c)-g(c), daí segue
f(c)-g(c)=0 Longrightarrow f(c)=g(c)

Passo 5

Finalmente, usamos o Teorema 1.5.5 para ver que, se f é contínua em x=c, então
limhto0f(c+h)=f(c)
Prova rápida via varepsilon - de<a: dado varepsilon>0, pela continuidade de f em c existe de<a>0 tal que |x-c|<de<a implica |f(x)-f(c)|<varepsilon. Se |h|<de<a, então |(c+h)-c|=|h|<de<a e assim |f(c+h)-f(c)|<varepsilon. Isso mostra limhto0f(c+h)=f(c).

Resposta

Existe pelo menos um cin(a,b) tal que f(c)=g(c), e de fato, se f é contínua em c então limhto0f(c+h)=f(c).

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