Prove:
Se
e
são contínuas em
e
, então existe no mínimo uma solução para a equação
em
. [Sugestão: Considere
.]
Use o Teorema 1.5.5 para provar que se
for contínua em
, então
.
Se
Use o Teorema 1.5.5 para provar que se
Passo 1
O enunciado afirma que
e
são funções contínuas em
e satisfazem
Queremos provar que existe
tal que
Para isso vamos usar o Teorema do Valor Intermediário e, como sugestão, definir a função
Além disso, usaremos o Teorema 1.5.5 (continuidade implica limite) para mostrar que
é contínua.
Passo 2
Defina
. Como soma e diferença de funções contínuas é contínua, concluímos que
De fato, pelo Teorema 1.5.5, para qualquer
vale
logo, pelas propriedades de limite,
o que mostra que
é contínua em
, e como
era arbitrário, em todo
.
Passo 3
Calculemos os valores de
nas extremidades:
Portanto,
e
têm sinais opostos.
Passo 4
Pelo Teorema do Valor Intermediário aplicado a
(que é contínua em
), existe pelo menos um ponto
tal que
Mas
, daí segue
Passo 5
Finalmente, usamos o Teorema 1.5.5 para ver que, se
é contínua em
, então
Prova rápida via
: dado
, pela continuidade de
em
existe
tal que
implica
. Se
, então
e assim
. Isso mostra
.
Resposta
Existe pelo menos um
tal que
, e de fato, se
é contínua em
então
.