Resolva a equação diferencial dada, verificando que seja não exata.
y d x+(1-x) d y=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y,dx + (1 - x),dy = 0
Verificaremos que ela não é exata e, em seguida, encontraremos um fator integrante para torná-la exata e obter a solução geral.

Passo 2

Definimos
M(x,y) = y, N(x,y) = 1 - x
Uma equação é exata se partial M/partial y = partial N/partial x. Calculando:
partial Mpartial y = 1, partial Npartial x = -1,
logo partial M/partial y neq partial N/partial x, ou seja, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu que dependa só de x. Usamos a fórmula
mu(x) = exp!gl(integral partial M/partial y - partial N/partial xN,dxgr)
Aqui
partial M/partial y - partial N/partial xN = 1 - (-1)1 - x = 21 - x
Logo
mu(x) = exp!l(integral 21 - x,dxr) = exp!l(-2ln|1 - x|r) = (1 - x)^-2

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(x)=(1-x)^-2, obtendo
y(1 - x)^2,dx + 11 - x,dy = 0
Chamamos
M^*(x,y) = y(1 - x)^2, N^*(x,y) = 11 - x
Verificando agora a exatidão:
partial M^*partial y = 1(1 - x)^2, partial N^*partial x = ddxl((1 - x)^-1r) = (1 - x)^-2,
portanto partial M^*/partial y = partial N^*/partial x e a equação é exata.

Passo 5

Como é exata, existe varphi(x,y) tal que
partial varphipartial x = M^*(x,y) =y(1 - x)^2, partial varphipartial y = N^*(x,y) =11 - x
Integramos M^* em relação a x:
varphi(x,y) = integral y(1 - x)^2,dx = y integral (1 - x)^-2,dx = y1 - x + h(y)
Agora derivamos em relação a y e igualamos a N^*:
partial varphipartial y = 11 - x + h'(y) stackrel!= 11 - x Longrightarrow h'(y)=0
Logo h é constante, que absorvemos na constante de integração final.

Passo 6

A função potencial é
varphi(x,y) = y1 - x,
e a solução implícita geral é
y1 - x = C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

y1 - x = C,
ou equivalentemente y = C,(1 - x).

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