Resolva a equação diferencial dada, verificando que seja não exata.
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
Verificaremos que ela não é exata e, em seguida, encontraremos um fator integrante para torná-la exata e obter a solução geral.
Passo 2
Definimos
Uma equação é exata se
. Calculando:
logo
, ou seja, a equação não é exata.
Passo 3
Procuramos um fator integrante
que dependa só de
. Usamos a fórmula
Aqui
Logo
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
Chamamos
Verificando agora a exatidão:
portanto
e a equação é exata.
Passo 5
Como é exata, existe
tal que
Integramos
em relação a
:
Agora derivamos em relação a
e igualamos a
:
Logo
é constante, que absorvemos na constante de integração final.
Passo 6
A função potencial é
e a solução implícita geral é
onde
é constante arbitrária.
Resposta
ou equivalentemente
.