Prove que, se A e B são matrizes quadradas, então
cc A & 0 0 & B

Passo 1

O enunciado pede para provar que, dadas duas matrizes quadradas AinK^ktimes k e BinK^(n-k)times(n-k), temos
det A & 0 0 & B ;=;(det A),(det B)
O conteúdo que vamos usar é a definição de determinante via permutações em Sn.

Passo 2

Denote
Pela definição de Leibniz,

Passo 3

Repare que, se uma permutação sigma enviar algum i<= k para sigma(i)>k (ou vice-versa), então
Mi,sigma(i)=0
pois essas são entradas do bloco zero. Logo, apenas as permutações que mantêm o conjunto 1,dots,k enviado em si mesmo e k+1,dots,n em si mesmo geram termos não nulos.

Passo 4

Qualquer permutação com essa propriedade se decompõe unicamente como

com atuando em e atuando em . Nessas condições

Passo 5

Agrupando a soma sobre e , obtemos

Resposta

det A & 0 0 & B =det(A),det(B)

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