O enunciado pede para provar que, dadas duas matrizes quadradas e , temos
O conteúdo que vamos usar é a definição de determinante via permutações em Sn.
Passo 2
Denote
Pela definição de Leibniz,
Passo 3
Repare que, se uma permutação sigma enviar algum i<= k para sigma(i)>k (ou vice-versa), então
Mi,sigma(i)=0
pois essas são entradas do bloco zero. Logo, apenas as permutações que mantêm o conjunto 1,dots,k enviado em si mesmo e k+1,dots,n em si mesmo geram termos não nulos.
Passo 4
Qualquer permutação com essa propriedade se decompõe unicamente como
com atuando em e atuando em . Nessas condições