Prove que, se x, y e z são positivos, então
(raizx+raizy+raizz)^2 >= 9 raiz[3]x y z

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para x,y,z>0, vale
(raizx+raizy+raizz)^2;>=;9raiz[3]xyz
O conteúdo principal aqui é aplicar a desigualdade da Média Aritmética–Geométrica (AM–GM) em três termos.

Passo 2

Vamos usar AM–GM nos três números
a = raizx, b = raizy, c = raizz
A desigualdade AM–GM diz que
a + b + c3 ;>=;(abc)^1/3
Substituindo a, b e c, temos
raizx + raizy + raizz3 ;>=; l(raizx,raizy,raizzr)^1/3 = (xyz)^1/6

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por 3, obtemos
raizx + raizy + raizz ;>=;3,(xyz)^1/6

Passo 4

Agora elevamos ao quadrado ambos os lados. Como tudo é positivo, a desigualdade se preserva:
(raizx + raizy + raizz)^2 ;>=; l[3,(xyz)^1/6r]^2 = 9,(xyz)^1/3
Isso é exatamente o que queríamos demonstrar.

Resposta

(raizx+raizy+raizz)^2 ;>=;9 raiz[3]xyz

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