Prove o seguinte:
Se
e
, então
.
Se
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dados:
e . - Objetivo: provar que
.
Passo 2
Transformar a informação sobre
em algo útil: mostrar que
.
Como , se somarmos
aos dois membros obtemos
Como
O lado esquerdo é
, logo
ou seja,
.
Passo 3
Explicar a regra usada a seguir: multiplicar uma desigualdade por um número positivo preserva a desigualdade.
Mais precisamente, se e
, então
. A justificativa rápida:
implica
; como
, o produto
; mas
, logo
, ou seja,
.
Mais precisamente, se
Passo 4
Aplicar essa regra ao caso concreto: em
multiplicar pelos dois lados por
, que sabemos ser positivo (
). Assim
Passo 5
Reescrever os produtos com o sinal menos fora:
e
. Portanto a desigualdade do passo anterior é
Passo 6
Mostrar que trocar o sinal dos dois lados de uma desigualdade inverte a desigualdade. Provar o lema: se
então
.
Prova do lema por adição (somando conservativamente, sem usar multiplicação por negativos): partindo de , some
aos dois lados para obter
. Agora some
aos dois lados dessa desigualdade para obter
. Reescrevendo, isto é
. Assim o lema está provado.
Prova do lema por adição (somando conservativamente, sem usar multiplicação por negativos): partindo de
Passo 7
Aplicar o lema ao caso do passo 5. Tomando
e
, da desigualdade
obtemos
. Mas
e
. Logo
que é exatamente o que queríamos demonstrar.