As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para os quais o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
(c) \left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 1 & 3 \\\\ 2 & x\end{array}\right], 0 ou 1 solução a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix} 2 & 1\\\\ 1 & 3\\\\ 2 & x \end{pmatrix}
de um sistema A\,(u,v)^{T}=b com 3 equações e 2 incógnitas. Queremos os valores de x tais que, para qualquer vetor b, o sistema ou não tenha solução (se b não estiver na imagem de A) ou tenha exatamente uma solução (se b estiver na imagem de A). Em teoria de sistemas lineares, isso ocorre precisamente quando as colunas de A são linearmente independentes, ou seja, \operatorname{rank}(A)=2.

Passo 2

Para um sistema com n=2 incógnitas o número máximo de soluções é:
- zero se b não pertencer à coluna-espaço de A,
- exatamente uma se b pertencer à coluna-espaço de A,
- infinitas se \operatorname{rank}(A)<2.
Como queremos não ter infinitas soluções, precisamos de \operatorname{rank}(A)=2.

Passo 3

Para verificar \operatorname{rank}(A)=2 basta exibir um menor 2\times2 não nulo. Por exemplo, usando as duas primeiras linhas:
\det\begin{pmatrix}2&1\\\ 1&3\end{pmatrix} =2\cdot3-1\cdot1=6-1=5\neq0.
Como esse menor independe de x, temos \operatorname{rank}(A)=2 para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

Qualquer x\in\mathbb{R}. Nesse caso o sistema tem 0 ou 1 solução conforme b não estiver ou estiver na coluna-espaço de A.

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