As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para os quais o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
(f) \left[\begin{array}{lll}0 & x & 3 \\\\ 1 & 2 & 1 \\\\ 1 & 3 & 4\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix} 0 & x & 3\\\\ 1 & 2 & 1\\\\ 1 & 3 & 4 \end{pmatrix}
e pede os valores de x para os quais o sistema homogêneo associado seja singular, de modo que, dependendo do vetor \boldsymbol b, haja ou nenhuma solução ou infinitas soluções. Para isso, iremos usar o critério de invertibilidade via determinante.

Passo 2

Calculamos o determinante de A:
\det(A) =\begin{vmatrix} 0 & x & 3\\\\ 1 & 2 & 1\\\\ 1 & 3 & 4 \end{vmatrix} =0\,(2\cdot4-1\cdot3)\;-\;x\,(1\cdot4-1\cdot1)\;+\;3\,(1\cdot3-1\cdot2).

Passo 3

Simplificando cada termo:
0\,(8-3)=0, \quad -x\,(4-1)=-3x, \quad 3\,(3-2)=3.
Logo
\det(A)=-3x+3=3\,(1-x).

Passo 4

O sistema será singular (isto é, terá zero ou infinitas soluções dependendo de \boldsymbol b) exatamente quando
\det(A)=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 1-x=0 \quad\Longleftrightarrow\quad x=1.
Para x\neq1, \det(A)\neq0 e o sistema tem solução única para todo \boldsymbol b.

Resposta

x=1

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