As seguintes seis matrizes são matrizes de coeficientes de sistemas de equações lineares. Para cada matriz, determine os valores de x e y (quando houver y ) para os quais o conjunto de soluções do sistema de equações lineares correspondente tenha as propriedades especificadas. Justifique suas respostas.
(e) \left[\begin{array}{lll}x & 4 & 2 \\\\ 3 & 6 & y\end{array}\right], 0 ou infinitas soluções a depender de \boldsymbol{b} \equiv\left(b_{1}, b_{2}\right).

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz de coeficientes
A = \begin{pmatrix}x & 4 & 2 \\\\ 3 & 6 & y\end{pmatrix}
de um sistema com 3 incógnitas e pede x e y tais que o sistema tenha ou nenhuma solução ou infinitas soluções, dependendo do vetor b. Vamos usar o conceito de posto de matriz para caracterizar essa situação.

Passo 2

Para que um sistema tenha “ou nada ou infinito” de soluções, o posto da matriz de coeficientes deve ser estritamente menor que o número de incógnitas (aí cabem infinitas soluções quando o posto estendido for igual ao posto da matriz) e maior que zero (para que às vezes o posto estendido ultrapasse e dê sistema impossível). Como A é 2\times3, seu maior posto possível é 2. Se \mathrm{rank}(A)=1, então variando b teremos:
\mathrm{rank}(A|b)=1 ⇒ sistema compatível com infinitas soluções.
\mathrm{rank}(A|b)=2 ⇒ sistema incompatível (sem solução).

Passo 3

Impondo \mathrm{rank}(A)=1, todas as menores de ordem 2 devem anular. Calculamos os dois principais:
\det\begin{pmatrix}x & 4\\\ 3 & 6\end{pmatrix} =6x - 12 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 2,
\det\begin{pmatrix}4 & 2\\\ 6 & y\end{pmatrix} =4y - 12 = 0 \quad\Rightarrow\quad y = 3.
O menor das colunas 1 e 3 também anula para (x,y)=(2,3), garantindo \mathrm{rank}(A)=1.

Resposta

x = 2 e y = 3.

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