Prove as seguintes identidades trigonométricas: cos (a pm b)=cos a cos b mp sen a sen b

Passo 1

O enunciado pede que a gente prove as fórmulas de adição e subtração do cosseno: cos(a+b)=cos a,cos b - sin a,sin b e cos(a-b)=cos a,cos b + sin a,sin b. O conteúdo é identidades trigonométricas e vamos usar a fórmula de Euler para funções complexas para extrair as partes reais.

Passo 2

A fórmula de Euler diz que, para todo theta, vale
e^itheta=costheta + isintheta
e a parte real de e^itheta é exatamente costheta. Também usamos a propriedade de que
e^i(alpha+beta)=e^ialpha,e^ibeta
e
e^i(alpha-beta)=e^ialpha,e^-ibeta

Passo 3

Para provar cos(a+b), consideramos
e^i(a+b) = e^ia,e^ib = (cos a + isin a),(cos b + isin b)
Fazendo o produto:
e^i(a+b) = cos a,cos b + icos a,sin b + isin a,cos b + i^2sin a,sin b
Como i^2=-1, isso fica
e^i(a+b) = (cos a,cos b - sin a,sin b) + i(cos a,sin b + sin a,cos b)
A parte real é
Rel(e^i(a+b)r)=cos a,cos b - sin a,sin b,
que é exatamente
cos(a+b)=cos a,cos b - sin a,sin b

Passo 4

Para provar cos(a-b), fazemos de modo análogo:
e^i(a-b) = e^ia,e^-i b = (cos a + isin a),(cos b - isin b)
Desenvolvendo:
e^i(a-b) = cos a,cos b - icos a,sin b + isin a,cos b - i^2sin a,sin b
Como i^2=-1, obtemos
e^i(a-b) = (cos a,cos b + sin a,sin b) + i(sin a,cos b - cos a,sin b)
A parte real é
Rel(e^i(a-b)r)=cos a,cos b + sin a,sin b,
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cos(a-b)=cos a,cos b + sin a,sin b

Resposta

As identidades ficam provadas:
cos(a+b)=cos a,cos b - sin a,sin becos(a-b)=cos a,cos b + sin a,sin b

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