Prove as seguintes identidades trigonométricas, sabendo que
, para todo
e supondo que
pertence ao domínio das funções envolvidas:
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade
sabendo que
e supondo que
pertence ao domínio das funções envolvidas. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A identidade trigonométrica-padrão dada é
. - A função tangente está definida por
portanto precisamos ter
para que
exista. Assim o domínio em que provaremos a identidade é o conjunto de
tais que
.
- O objetivo é mostrar que, sob essa condição, a expressão à direita simplifica-se exatamente para
.
Passo 2
Começamos manipulando o lado direito da identidade. Escreva a tangente em termos de seno e cosseno e eleve ao quadrado:
Portanto o lado direito fica
Passo 3
Para simplificar a fração complexa do passo anterior, coloque o denominador sobre o mesmo denominador
:
Passo 4
Substituindo essa forma do denominador na fração completa obtemos
Como
(porque
no domínio considerado), podemos cancelar o fator comum
no numerador e no denominador, ficando
Passo 5
Agora use a identidade dada
. Substituindo
por
na expressão do passo anterior, obtemos
Portanto o lado direito original simplificou-se exatamente para
.
Passo 6
Conclusão e observação sobre domínio: mostramos que, sempre que
está definido (isto é,
), vale
Nota rápida para a prova: não se pode tentar avaliar a identidade quando
porque o lado direito fica indefinido; portanto a igualdade vale exatamente no domínio onde
existe.