Prove as seguintes identidades trigonométricas, sabendo que \cos ^{2}(x)+\operatorname{sen}^{2}(x)=1, para todo x \in \mathbb{R} e supondo que x pertence ao domínio das funções envolvidas:
\operatorname{sen}^{2}(x)=\frac{\operatorname{tg}^{2}(x)}{1+\operatorname{tg}^{2}(x)}

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade
\operatorname{sen}^{2}(x)=\frac{\operatorname{tg}^{2}(x)}{1+\operatorname{tg}^{2}(x)},
sabendo que
\operatorname{sen}^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1
e supondo que x pertence ao domínio das funções envolvidas. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A identidade trigonométrica-padrão dada é \operatorname{sen}^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1.
  • A função tangente está definida por
\operatorname{tg}(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)},
portanto precisamos ter \cos(x)\neq 0 para que \operatorname{tg}(x) exista. Assim o domínio em que provaremos a identidade é o conjunto de x tais que \cos(x)\neq 0.
  • O objetivo é mostrar que, sob essa condição, a expressão à direita simplifica-se exatamente para \operatorname{sen}^{2}(x).

Passo 2

Começamos manipulando o lado direito da identidade. Escreva a tangente em termos de seno e cosseno e eleve ao quadrado:
\operatorname{tg}^{2}(x)=\left(\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)}\right)^{2}=\frac{\operatorname{sen}^{2}(x)}{\cos^{2}(x)}.
Portanto o lado direito fica
\frac{\operatorname{tg}^{2}(x)}{1+\operatorname{tg}^{2}(x)} = \frac{\dfrac{\operatorname{sen}^{2}(x)}{\cos^{2}(x)}}{1+\dfrac{\operatorname{sen}^{2}(x)}{\cos^{2}(x)}}.

Passo 3

Para simplificar a fração complexa do passo anterior, coloque o denominador sobre o mesmo denominador \cos^{2}(x):
1+\dfrac{\operatorname{sen}^{2}(x)}{\cos^{2}(x)} = \dfrac{\cos^{2}(x)}{\cos^{2}(x)}+\dfrac{\operatorname{sen}^{2}(x)}{\cos^{2}(x)} = \dfrac{\cos^{2}(x)+\operatorname{sen}^{2}(x)}{\cos^{2}(x)}.

Passo 4

Substituindo essa forma do denominador na fração completa obtemos
\frac{\dfrac{\operatorname{sen}^{2}(x)}{\cos^{2}(x)}}{\dfrac{\cos^{2}(x)+\operatorname{sen}^{2}(x)}{\cos^{2}(x)}} .
Como \cos^{2}(x)\neq 0 (porque \cos(x)\neq 0 no domínio considerado), podemos cancelar o fator comum \cos^{2}(x) no numerador e no denominador, ficando
\frac{\operatorname{sen}^{2}(x)}{\cos^{2}(x)+\operatorname{sen}^{2}(x)}.

Passo 5

Agora use a identidade dada \operatorname{sen}^{2}(x)+\cos^{2}(x)=1. Substituindo \cos^{2}(x)+\operatorname{sen}^{2}(x) por 1 na expressão do passo anterior, obtemos
\frac{\operatorname{sen}^{2}(x)}{1}=\operatorname{sen}^{2}(x).
Portanto o lado direito original simplificou-se exatamente para \operatorname{sen}^{2}(x).

Passo 6

Conclusão e observação sobre domínio: mostramos que, sempre que \operatorname{tg}(x) está definido (isto é, \cos(x)\neq 0), vale
\operatorname{sen}^{2}(x)=\frac{\operatorname{tg}^{2}(x)}{1+\operatorname{tg}^{2}(x)}.
Nota rápida para a prova: não se pode tentar avaliar a identidade quando \cos(x)=0 porque o lado direito fica indefinido; portanto a igualdade vale exatamente no domínio onde \operatorname{tg}(x) existe.

Resposta

\operatorname{sen}^{2}(x)=\frac{\operatorname{tg}^{2}(x)}{1+\operatorname{tg}^{2}(x)}

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