Prove as seguintes igualdades:
B cup(emptyset cap A)=B;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer conjuntos A e B, vale
B cup (emptyset cap A) = B
O conteúdo envolve as propriedades de interseção com o conjunto vazio e de elemento neutro da união.

Passo 2

Mostramos primeiro que
emptyset cap A = emptyset
De fato, um elemento x pertence a emptyset cap A se, e somente se, xinemptyset e xin A. Mas não existe xinemptyset, logo não existe xinemptyset cap A, ou seja,
emptyset cap A = emptyset

Passo 3

Substituindo na união, obtemos
B cup (emptyset cap A)=B cup emptyset
Como a união com o conjunto vazio deixa qualquer conjunto inalterado ( emptyset é elemento neutro da união), segue que
B cup emptyset = B

Resposta

B cup (emptyset cap A) = B

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