Prove as seguintes igualdades:
(A^c cap U)^c=A;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
l(A^ccap Ur)^c=A,
onde U é o conjunto universo (ou seja, todo elemento que consideramos vive em U).
O conteúdo principal aqui é a lei de De Morgan para complementos e também a propriedade de que todo subconjunto intersectado com o universo permanece inalterado.

Passo 2

Aplicamos a lei de De Morgan ao complemento da interseção. Em geral vale
(Xcap Y)^c=X^ccup Y^c
Tomando X=A^c e Y=U, obtemos
l(A^ccap Ur)^c=(A^c)^c;cup;U^c

Passo 3

Sabemos que (A^c)^c=A. Além disso, como U é o universo, seu complementar é o conjunto vazio:
U^c=varnothing
Portanto
(A^c)^ccup U^c=Acupvarnothing

Passo 4

Finalmente, a união de qualquer conjunto com o vazio não altera esse conjunto. Logo
Acupvarnothing=A

Resposta

l(A^ccap Ur)^c=A

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