Resolver as equações diferenciais do 3^circ tipo:
d yd x=1-3 x-3 y1+x+y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
dydx = 1 - 3x - 3y1 + x + y
que é do “3º tipo”, ou seja, uma razão de funções lineares em x e y. A técnica padrão é transformar a soma x+y em uma nova variável, o que vai reduzir a equação a uma forma separável.

Passo 2

Definimos
t = x + y
Diferenciando em relação a x obtemos
dtdx = 1 + dydx
Como dydx = 1-3x-3y1+x+y = 1-3t1+t, segue
dtdx = 1 + 1-3t1+t

Passo 3

Calculamos
dtdx = (1+t) + (1-3t)1+t = 2 -2t1+t = 2,1 - t1 + t
Isso é uma equação separável em t e x.

Passo 4

Separamos variáveis e integramos:
1+t1 - t,dt = 2,dx
Para integrar o lado esquerdo, fazemos a divisão
1+t1 - t = -1 - 21 - t,
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integral1+t1 - t,dt = integrall(-1 - 21-tr),dt = -t + 2lnl|1 - tr| + C1
Do lado direito temos integral 2,dx = 2x + C2. Igualando as integrais:
-t + 2lnl|1 - tr| = 2x + C,
onde C = C2 - C1.

Passo 5

Voltando a t = x + y, obtemos
-(x+y) + 2lnl|1 - x - yr| = 2x + C
ou, reorganizando os termos em x e y,
-3x - y + 2lnl|1 - x - yr| = C
Multiplicando por -1 e renomeando a constante, temos a forma final.

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
3x + y + 2lnl|1 - x - yr| = C,
onde C é constante arbitrária.

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