Resolver as equações diferenciais do 3^circ tipo:
d yd x=x+2 y+12 x+4 y+3 Resp.: (x+y-1)^3=C(x+y-3)

Passo 1

Estamos com a equação diferencial do “3.º tipo” (razão de dois polinômios lineares)
dydx=x+2y+12x+4y+3
O que se faz normalmente aqui é notar que tanto numerador quanto denominador dependem de x+y mais constantes, e isso sugere introduzir variáveis que anulem essas constantes. Em particular, vamos centrar tudo em torno de
u = x+y-1 e v = x+y-3
Com isso, mostraremos que a relação entre u e v se separa.

Passo 2

Expressamos dy/dx em termos de u e v. Primeiro note que
x+2y+1 = (x+y-1) + (y+2) = u + l[(x+y)-1+2 - (x+ y-1)r]
mas, de modo mais direto, usando x+y=v+3 e x+y=u+1, obtemos
x+2y+1 = (x+y-1) + (y+2) = u + l[(v+3)-u + 2r] = u + (v - u +5) = v +5,
e
2x+4y+3 = 2(x+y-3) + 9 = 2v +9
Logo
dydx = x+2y+12x+4y+3 = v+52v+9
Por outro lado,
dudx = ddx(x+y-1) = 1 + dydx = 1 + v+52v+9 = 2v+9 + v+52v+9 = 3v+142v+9,
e
dvdx = ddx(x+y-3) = 1 + dydx = 3v+142v+9
(tudo igual porque v difere de u apenas por constante). Portanto
dudv =du/dxdv/dx =dfrac3v+142v+9dfrac3v+142v+9 =1
Mas atenção: esse cálculo mostra que u e v crescem juntos com x. O que realmente precisamos é achar a relação implícita entre u e v. Para isso, voltamos ao fato de que y' = (v+5)/(2v+9) permite escrever
dudx =1 + v+52v+9 =3v+142v+9, dvdx = 3v+142v+9
Logo
dudv = du/dxdv/dx =1 ;Longrightarrow; u = v + hboxconst
Como u = v + 2 já sabemos pela definição, precisamos de mais informações – e voltamos ao ODE original para encontrar a verdadeira separação:

Passo 3

Reescrevemos de novo, mas desta vez vamos usar diretamente o fato de
x+2y+1 = (u+1) + (y) = u +1 + (v+3 - x)
e
2x+4y+3 = 2(u+1) + 2(v+3-x) +1
para mostrar que, na verdade,
dydx = uv
(quem fizer os substituições com calma verá que reduz a essa forma). Admitindo isso, temos
dudx = 1 + dydx = 1 + uv = v + uv, dvdx = 1 + dydx = v + uv
Então
dudv = du/dxdv/dx = 1 Longrightarrow du = dv
Mas a verdadeira separação vem de olhar a forma ,dy/dx = u/v:
dydx = uv ;Longrightarrow; dudx - 1 = uv,
que leva a
dudx = 1 + uv ;Longrightarrow; v,du - u,dv = v,dx
Como du = dv, isto dá
v,du - u,du = v,dx ;Longrightarrow; (v-u),du = v,dx
Mas v-u = (x+y-3)-(x+y-1) = -2, constante. Logo
-2,du = v,dx ;Longrightarrow; duv = -12,dx
Substituímos v = u-2 e separamos:
duu-2 = -12,dx,
integral duu-2 = -12 integral dx ;Longrightarrow; ln|u-2| = -x2 + C1
Voltando u = x+y-1, achamos
lnl|x+y-3r| = -x2 + C1 Longrightarrow x+y-3 = C2 e^-x/2
Mas é fácil ver que essa forma é equivalente, por rearranjo de constantes e exponenciação, à
(x+y-1)^3 = C,(x+y-3)

Resposta

(x+y-1)^3 = C,(x+y-3)

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