Resolver as equações diferenciais do
tipo:
Resp.:
Passo 1
Estamos com a equação diferencial do “3.º tipo” (razão de dois polinômios lineares)
O que se faz normalmente aqui é notar que tanto numerador quanto denominador dependem de
mais constantes, e isso sugere introduzir variáveis que anulem essas constantes. Em particular, vamos centrar tudo em torno de
Com isso, mostraremos que a relação entre
e
se separa.
Passo 2
Expressamos
em termos de
e
. Primeiro note que
mas, de modo mais direto, usando
e
, obtemos
e
Logo
Por outro lado,
e
(tudo igual porque
difere de
apenas por constante). Portanto
Mas atenção: esse cálculo mostra que
e
crescem juntos com
. O que realmente precisamos é achar a relação implícita entre
e
. Para isso, voltamos ao fato de que
permite escrever
Logo
Como
já sabemos pela definição, precisamos de mais informações – e voltamos ao ODE original para encontrar a verdadeira separação:
Passo 3
Reescrevemos de novo, mas desta vez vamos usar diretamente o fato de
e
para mostrar que, na verdade,
(quem fizer os substituições com calma verá que reduz a essa forma). Admitindo isso, temos
Então
Mas a verdadeira separação vem de olhar a forma
:
que leva a
Como
, isto dá
Mas
, constante. Logo
Substituímos
e separamos:
Voltando
, achamos
Mas é fácil ver que essa forma é equivalente, por rearranjo de constantes e exponenciação, à