Prove as seguintes igualdades:
(A cap B) cup(A cup B^c)^c=B;

Passo 1

O enunciado pede para provar a igualdade de conjuntos
(A cap B) cupl(A cup B^cr)^c = B
O conteúdo principal aqui é álgebra de conjuntos: vamos usar a Lei de De Morgan para complementos, a distributiva da união sobre a interseção e o fato de que Acup A^c é o universo.

Passo 2

Aplicamos a Lei de De Morgan ao complemento de uma união. Para qualquer X,Y vale
(Xcup Y)^c = X^ccap Y^c
Então, tomando X=A e Y=B^c, obtemos
l(Acup B^cr)^c = A^ccapl(B^cr)^c = A^ccap B

Passo 3

Substituindo na expressão original, o lado esquerdo fica
(Acap B);cup;(A^ccap B)

Passo 4

Agora usamos a propriedade distributiva (fator comum B):
(Acap B)cup(A^ccap B) = l(Acup A^cr)cap B
Mas Acup A^c é o conjunto universo U. Logo
l(Acup A^cr)cap B = Ucap B = B

Resposta

(A cap B) cupl(A cup B^cr)^c = B

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