Use as regras das operações para mostrar que
(A cup B) cap(A^c cap B)^c=A;

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
(A cup B)capl(A^ccap Br)^c=A
Aqui vamos usar as leis de De Morgan, a propriedade distributiva de união e interseção, e as leis de identidade e absorção de conjuntos.

Passo 2

Aplicando a lei de De Morgan ao complemento de uma interseção, temos
l(A^ccap Br)^c=Acup B^c

Passo 3

Substituímos esse resultado na expressão original:
(A cup B)capl(A^ccap Br)^c =(Acup B)cap (Acup B^c)

Passo 4

Usamos a propriedade distributiva na forma
(Xcup Y)cap(Xcup Z)=Xcup(Ycap Z)
com X=A, Y=B e Z=B^c. Assim,
(Acup B)cap (Acup B^c) = A;cup;(Bcap B^c)

Passo 5

Como Bcap B^c=varnothing, fica
A;cup;(Bcap B^c) = Acupvarnothing

Passo 6

Pela lei de identidade da união, Acupvarnothing=A. Portanto
(A cup B)capl(A^ccap Br)^c=A

Resposta

(A cup B)capl(A^ccap Br)^c=A

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