Prove os seguintes itens:
(Desigualdade Triangular) Para quaisquer a, b \in \mathrm{R},
||a|-|b|| \leq|a-b|

Passo 1

O problema pede para provar que, para quaisquer a,b\in\mathrm{R},
||a|-|b|| \leq |a-b|.
Informações dadas:
  • a e b são números reais quaisquer.
  • Pede-se uma desigualdade envolvendo valor absoluto das quantidades a, b e a-b.

Passo 2

Vamos lembrar o que é o valor absoluto e algumas propriedades úteis (explicadas de forma direta).
  • Definição: para x\in\mathrm{R}\), \[|x|=\begin{cases} x, & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] -x, & \text{se } x<0. \end{cases}
Logo sempre |x|\ge 0\]. - Uma identidade prática: \(|x|^2 = x^2. Isso é útil para manipular desigualdades envolvendo raiz/quadrado.
- Uma desigualdade fundamental que usaremos — a desigualdade triangular — diz que, para quaisquer u,v\in\mathrm{R},
|u+v| \le |u| + |v|.
No próximo passo eu mostro (rápido) por que essa desigualdade triangular vale para números reais.]

Passo 3

Prova da desigualdade triangular para reais (passo-a-passo curto e direto).
  • Comece calculando o quadrado do lado esquerdo:
|u+v|^2 = (u+v)^2 = u^2 + 2uv + v^2.
  • Como 2uv \le 2|u||v| (pois uv \le |u||v| e multiplicando por 2 mantém a desigualdade), obtemos
u^2 + 2uv + v^2 \le u^2 + 2|u||v| + v^2 = (|u|+|v|)^2.
  • Assim
|u+v|^2 \le (|u|+|v|)^2.
Como ambos os lados são não negativos, podemos tirar raiz quadrada preservando a desigualdade:
|u+v| \le |u| + |v|.
Pronto — a desigualdade triangular para reais está demonstrada.

Passo 4

Aplicação da desigualdade triangular ao nosso problema.
Escolha u = a-b e v = b. Então u+v = (a-b)+b = a. Pela desigualdade triangular,
|a| = |(a-b)+b| \le |a-b| + |b|.
Agora basta manipular essa desigualdade para isolar uma expressão que envolva |a|-|b|.

Passo 5

Rearranjando a desigualdade do passo anterior:
|a| \le |a-b| + |b|.
Subtraindo |b| de ambos os lados (subtração válida porque |b| é um número real), obtemos
|a| - |b| \le |a-b|.
Essa é a primeira desigualdade útil. Agora fazemos o mesmo trocando os papéis de a e b para obter a desigualdade na direção oposta.

Passo 6

Trocando a por b e b por a na dedução do passo 4, obtemos
|b| - |a| \le |b-a|.
Mas |b-a| = |a-b| (valor absoluto não depende da ordem), logo
|b| - |a| \le |a-b|.
Agora temos duas desigualdades:
|a| - |b| \le |a-b| \qquad\text{e}\qquad |b| - |a| \le |a-b|.
A segunda pode ser escrita como -(|a|-|b|) \le |a-b|, ou seja
-|a-b| \le |a| - |b| \le |a-b|.

Passo 7

Da cadeia de desigualdades do passo anterior segue, por definição de valor absoluto (um número x satisfaz -M \le x \le M se e somente se |x|\le M), que
||a|-|b|| \le |a-b|.
Isso conclui a prova: a diferença absoluta entre os valores absolutos de a e b não pode ser maior que o valor absoluto da diferença a-b.

Resposta

\,||a|-|b|| \le |a-b|\,

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