Prove os seguintes itens:
(Desigualdade Triangular) Para quaisquer
,
(Desigualdade Triangular) Para quaisquer
Passo 1
O problema pede para provar que, para quaisquer
,
Informações dadas:
-
e são números reais quaisquer. - Pede-se uma desigualdade envolvendo valor absoluto das quantidades
, e .
Passo 2
Vamos lembrar o que é o valor absoluto e algumas propriedades úteis (explicadas de forma direta).
- Definição: para
Logo sempre
. Isso é útil para manipular desigualdades envolvendo raiz/quadrado.
- Uma desigualdade fundamental que usaremos — a desigualdade triangular — diz que, para quaisquer ,
- Uma desigualdade fundamental que usaremos — a desigualdade triangular — diz que, para quaisquer
No próximo passo eu mostro (rápido) por que essa desigualdade triangular vale para números reais.]
Passo 3
Prova da desigualdade triangular para reais (passo-a-passo curto e direto).
- Comece calculando o quadrado do lado esquerdo:
- Como
(pois e multiplicando por mantém a desigualdade), obtemos
- Assim
Como ambos os lados são não negativos, podemos tirar raiz quadrada preservando a desigualdade:
Pronto — a desigualdade triangular para reais está demonstrada.
Passo 4
Aplicação da desigualdade triangular ao nosso problema.
Escolha e
. Então
. Pela desigualdade triangular,
Escolha
Agora basta manipular essa desigualdade para isolar uma expressão que envolva
.
Passo 5
Rearranjando a desigualdade do passo anterior:
Subtraindo
de ambos os lados (subtração válida porque
é um número real), obtemos
Essa é a primeira desigualdade útil. Agora fazemos o mesmo trocando os papéis de
e
para obter a desigualdade na direção oposta.
Passo 6
Trocando
por
e
por
na dedução do passo 4, obtemos
Mas
(valor absoluto não depende da ordem), logo
Agora temos duas desigualdades:
A segunda pode ser escrita como
, ou seja
Passo 7
Da cadeia de desigualdades do passo anterior segue, por definição de valor absoluto (um número
satisfaz
se e somente se
), que
Isso conclui a prova: a diferença absoluta entre os valores absolutos de
e
não pode ser maior que o valor absoluto da diferença
.