Prove os seguintes limites usando a definição.
lim x -6-2 x-5=7

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite epsilon–delta, que
limxto -6(-2x-5) = 7
Lembrando a definição: devemos mostrar que, para todo varepsilon>0, existe de<a>0 tal que, sempre que 0<|x-(-6)|<de<a, temos
|(-2x-5)-7|<varepsilon

Passo 2

Calculemos a diferença entre a função e o valor limite proposto:
|(-2x-5)-7| =|-2x-12| =2,|x+6|

Passo 3

Queremos garantir que 2,|x+6|<varepsilon. Basta escolher
de<a = varepsilon2
Assim, se 0<|x+6|<de<a, então
|(-2x-5)-7| = 2,|x+6| < 2,de<a = 2cdotvarepsilon2 = varepsilon

Passo 4

Concluímos a prova formal: dado qualquer varepsilon>0, definimos de<a=varepsilon/2. Sempre que
0<|x-(-6)|=|x+6|<de<a,
segue-se
|(-2x-5)-7|<varepsilon
Isso satisfaz a definição de limite, logo
limxto -6(-2x-5)=7

Resposta

Foi demonstrado, pelo critério epsilon–delta com de<a=varepsilon2, que
limxto -6(-2x-5)=7

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